Kepe O.E. のコレクションからの問題 20.5.8 の解決策

20.5.8 機械システムの運動エネルギー T = 2x2、位置エネルギー P = 4x。 x|t = 0 = 13 m/s の場合、時間 t = 3 秒におけるシステム x の一般化速度を決定する必要があります。 （答え10）。

この問題を解決するには、システムの運動エネルギーと位置エネルギーの合計が一定のままであるというエネルギー保存の法則を使用する必要があります。問題の条件から、時間 t = 0 秒における運動エネルギーと位置エネルギーの値がわかります。

運動エネルギー T = 2x2、位置エネルギー P = 4x。

したがって、最初の瞬間におけるシステムの総エネルギーは次のようになります。

E = T + P = 2x2 + 4x = 2x(x + 2)。

エネルギー保存の法則から、システムの総エネルギーはいつでも一定に保たれることがわかります。したがって：

E = 2x(x + 2) = 定数

時間 t = 3 秒におけるシステム x の一般化速度を決定するには、システムの運動方程式を使用する必要があります。

x = x|t=0 + v|t=0*t + (a/2)*t^2、

ここで、x|t=0 は一般化された座標の初期値、v|t=0 は一般化された速度の初期値、a は加速度です。

この方程式を t^2 で割って時間微分を取ると、次のようになります。

a = 2(x - x|t=0 - v|t=0*t)/t^2。

システムの位置エネルギーが P = 4x であることを考慮すると、運動方程式は次の形式で書くことができます。

T + П = 定数 => 2х^2 + 4х = 定数。

この方程式を時間で微分すると、次のようになります。

2x*v + 4v = 0。

問題の条件の値を代入すると、次のようになります。

213v + 4v = 0、

ここで v = -5.2。

したがって、時間 t = 3 秒におけるシステム x の一般化速度は -5.2 m/s に等しくなります。

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この製品は、Kepe O.? のコレクションの問題 20.5.8 に対する解決策です。

この問題では、一般化座標 x: T = 2x^2 および P = 4x に応じて機械システムの運動エネルギーと位置エネルギーが与えられます。 x|t=0=13 m/s の場合、時間 t=3 秒におけるシステム x の一般化速度を決定する必要があります。

この問題を解決するには、第 2 種ラグランジュ方程式 d/dt(dL/dx_dot) - dL/dx = 0 を使用する必要があります。ここで、L はシステムのラグランジュです。

システムのラグランジアンを計算します: L = T - П = 2x^2 - 4x。

次に、微分値 dL/dx = 4x - 4 および dL/dx_dot = 4x_dot を計算します。

第 2 種をラグランジュ方程式に代入して、システムの運動方程式 d/dt(4x_dot) - (4x - 4) = 0 を取得します。

この方程式を解き、x|t=0=13 m/s の場合、時刻 t=3 秒におけるシステム x の一般化速度を求めます: x_dot = 10 m/s。答え: 10.

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