Option 2 IDZ 3.1

№1.2

Étant donné quatre points A1(3;–1;2); A2(–1;0;1); A3(1;7;3); A4(8;5;8).

a) Créons une équation pour le plan A1A2A3 :

Vecteur posé sur l'avion A1A2A3 :

A1A2 = (-1 - 3 ; 0 + 1 ; 1 - 2) = (-4 ; 1 ; -1)

A1A3 = (1 - 3 ; 7 + 1 ; 3 - 2) = (-2 ; 8 ; 1)

Vecteur normal du plan A1A2A3 :

n = [A1A2, A1A3] = (-1 - 3 ; 3 - 2 ; 0 - 8) = (-4 ; 1 ; -8)

Équation plane :

-4x + y - 8z + d = 0

pour trouver d, substituez les coordonnées du point A1 :

-4 * 3 + (-1) * (-1) - 8 * 2 + d = 0

d = 26

Équation du plan A1A2A3 :

-4x + y - 8z + 26 = 0

b) Créons une équation pour la droite A1A2 :

Vecteur directeur de la droite A1A2 :

A1A2 = (-4 ; 1 ; -1)

Équation d'une droite :

x = 3 - 4t, y = -1 + t, z = 2 - t, t ∈ R

c) Créons une équation pour la droite A4M perpendiculaire au plan A1A2A3 :

Vecteur normal du plan A1A2A3 :

n = (-4 ; 1 ; -8)

Vecteur directionnel A4M :

А4M = (x - 8 ; y - 5 ; z - 8)

Condition de perpendiculaire :

n * A4M = 0

-4(x - 8) + 1(y - 5) - 8(z - 8) = 0

Équation de la droite A4M :

x = 8 + 2t, y = 5 - t, z = 8 + 0,5t, t ∈ R

d) Créons une équation pour la droite A3N parallèle à la droite A1A2 :

Vecteur directeur de la droite A1A2 :

A1A2 = (-4 ; 1 ; -1)

Équation de la droite A3N :

x = 1 + (-4)t, y = 7 + t, z = 3 - t, t ∈ R

e) Créons une équation pour un plan passant par le point A4 et perpendiculaire à la droite A1A2 :

Vecteur directeur de la droite A1A2 :

A1A2 = (-4 ; 1 ; -1)

Vecteur plan normal :

n = (-4 ; 1 ; -1)

Équation plane :

-4x + y - z + d = 0

pour trouver d, substituez les coordonnées du point A4 :

-4 * 8 + 5 - 8 + d = 0

d = 27

Équation plane :

-4x + y - z + 27 = 0

f) Trouver le sinus de l'angle entre la droite A1A4 et le plan A1A2A3 :

Vecteur de direction droit A1A4 :

A1A4 = (5 ; 6 ; 6)

Vecteur normal du plan A1A2A3 :

n = (-4 ; 1 ; -8)

Le sinus de l'angle entre les vecteurs :

péché θ = |[А1А4, n]| / |А1А4| * |n|

péché θ = |(48 ; 38 ; 29)| / √(5^2 + 6^2 + 6^2) * √(16 + 1 + 64)

péché θ = 115 / √24545

g) Trouvons le cosinus de l'angle entre le plan de coordonnées Oxy et le plan A1A2A3 :

Vecteur normal du plan de coordonnées Oxy :

n = (0 ; 0 ; 1)

Vecteur normal du plan A1A2A3 :

n = (-4 ; 1 ; -8)

Le cosinus de l'angle entre les vecteurs :

cos θ = |n1 * n2| / |n1| * |n2|

cos θ = |-8| / √(16 + 1 + 64) * √1

cos θ = -8 / √81

№2.2

Créons une équation pour un plan passant par le milieu du segment M1M2 perpendiculaire à ce segment si M1(1;5;6) ; M2(–1;7;10).

Vecteur directeur du segment M1M2 :

M1M2 = (-2 ; 2 ; 4)

Coordonnées du milieu du segment M1M2 :

Mm = ((1 + (-1)) / 2 ; (5 + 7) / 2 ; (6 + 10) / 2) = (0 ; 6 ; 8)

Vecteur normal du plan souhaité :

n = M1M2 = (-2 ; 2 ; 4)

Équation plane :

-2x + 2y + 4z + d = 0

pour trouver d, substituez les coordonnées du point Mm :

-2 * 0 + 2 * 6 + 4 * 8 + d = 0

d = -44

Équation plane :

-2x + 2y + 4z - 44 = 0

№3.2

Montrer que la droite ...... est parallèle au plan 2x + y – z = 0 ; et la ligne droite..... se situe dans ce plan.

Il est nécessaire de compléter l'énoncé du problème par des informations sur les lignes afin que la réponse à la question posée puisse être donnée. Merci de préciser la condition.

Description du produit - Variante 2 IDZ 3.1

Ce produit numérique est un support pédagogique destiné aux étudiants qui étudient les mathématiques. Il contient des solutions détaillées à des problèmes dans diverses branches des mathématiques, notamment l'algèbre, la géométrie, la théorie des probabilités et les statistiques mathématiques.

Le manuel comprend plus de 100 problèmes, chacun comportant des solutions et des explications détaillées, qui aideront les étudiants à mieux comprendre la matière et à améliorer leurs performances.

Ce produit numérique peut être utile aussi bien pour les étudiants qui étudient dans les universités que pour les écoliers qui se préparent à entrer à l'université ou à organiser des Olympiades de mathématiques.

Le produit numérique est disponible au format pdf et peut être téléchargé directement après paiement. En cas de problèmes de téléchargement ou de visualisation, les clients peuvent contacter l'équipe d'assistance, toujours prête à aider.

En achetant ce produit numérique, vous recevez non seulement du matériel utile pour étudier les mathématiques, mais vous gagnez également du temps pour résoudre vous-même des problèmes, ce qui est particulièrement important lors des examens et des sessions.

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Je vous présente une description du produit :

IDZ 3.1 est une tâche mathématique composée de trois nombres.

Le premier numéro donne les coordonnées de quatre points dans l'espace. Il faut écrire des équations pour un plan passant par trois de ces points, une droite passant par deux de ces points, et un plan passant par un de ces points et perpendiculaire à la droite. Vous devez également trouver le sinus et le cosinus des angles entre une ligne et un plan donnés.

Dans la deuxième problématique, il faut créer une équation du plan passant par le milieu du segment, perpendiculaire à ce segment, dont les coordonnées données sont également données.

Dans le troisième problème, vous devez prouver qu'une droite est parallèle à un plan donné et que l'autre se trouve dans ce plan. Pour ce faire, il faut utiliser les connaissances sur le parallélisme d'une droite et d'un plan, ainsi que sur le fait qu'un point appartient à un plan si ses coordonnées satisfont à l'équation de ce plan.

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