IDZ 12.1 – Option 2. Solutions Ryabushko A.P.

Tâche n°1. Prouver la convergence de la série et trouver sa somme.

Considérons la série $\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n!}$. Pour étudier sa convergence, nous utilisons le test de D'Alembert :

$$\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{2^{n+1}}{(n+1 )!} \cdot \frac{n!}{2^n} = \lim_{n\to\infty} \frac{2}{n+1} = 0.$$

La série converge donc. Pour trouver sa somme, on utilise la formule de l'exposant :

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n!} = e^2.$$

Tâche n°2. Examinez la série indiquée avec des termes positifs pour la convergence.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{2^n}$

Pour étudier la convergence de cette série, nous utilisons le test de D'Alembert :

$$\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1) !}{2^{n+ 1}} \cdot \frac{2^n}{n!} = \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{2} = \infty,$$

c'est-à-dire que la série diverge.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n\ln^2 n}$

Pour étudier la convergence de cette série, nous utilisons le critère intégral :

$$\int_2^\infty \frac{dx}{x\ln^2 x} = \left[-\frac{1}{\ln x}\right]_2^\infty = \frac{1}{\ dans 2}

c'est-à-dire que la série converge.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n\ln n}$

Pour étudier la convergence de cette série, on utilise également le test intégral :

$$\int_2^\infty \frac{dx}{x\ln x} = \ln(\ln x)\bigg|_2^\infty = \infty,$$

c'est-à-dire que la série diverge.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha}$, où $0

Pour étudier la convergence de cette série, nous utilisons le critère intégral :

$$\int_1^\infty \frac{dx}{x^\alpha} = \begin{cases}\frac{1}{\alpha-1}, &\text{=\infty}\alpha > 1\\ infty, & \text{s} \alpha \leq 1 \end{cases}$$

Ainsi, la série converge pour $\alpha > 1$ et diverge pour $\alpha \leq 1$.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(\ln n)^\alpha}$, où $0

Pour étudier la convergence de cette série, on utilise également le test intégral :

$$\int_2^\infty \frac{dx}{x(\ln x)^\alpha} = \begin{cases}\frac{1}{\alpha-1}\left(\frac{1}{( \ln 2)^{\alpha-1}} - \lim_{x\to\infty}\frac{1}{(\ln x)^{\alpha-1}}\right), &\text{если } \alpha > 1 \ \infty, & \text{text } \alpha \leq 1 \end{cases}$$

Ainsi, la série converge pour $\alpha > 1$ et diverge pour $\alpha \leq 1$.

Tâche n°7. Examinez les séries alternées pour la convergence et la convergence absolue.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}$

Pour examiner la convergence de cette série alternée, nous utilisons le test de Leibniz : la séquence $\left|\frac{1}{n}\right|$ décroît de façon monotone jusqu'à zéro. Aussi, pour étudier la convergence absolue, nous utiliserons une comparaison avec les séries harmoniques :

$$\sum_{n=1}^\infty \left|\frac{(-1)^n}{n}\right| = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$$

Cette série diverge car c'est une série harmonique. Ainsi, la série alternative originale converge, mais ne converge pas absolument.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^\alpha}$, où $0

Pour examiner la convergence de cette série alternée, nous utilisons le test de Leibniz : la séquence $\left|\frac{1}{n^\alpha}\right|$ décroît de façon monotone jusqu'à zéro. Pour étudier la convergence absolue, nous utilisons une comparaison avec une série harmonique :

$$\sum_{n=1}^\infty \left|\frac{(-1)^n}{n^\alpha}\right| = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha}$$

Cette série converge pour $\alpha > 1$ et diverge pour $\alpha \leq 1$. Ainsi, la série alternée originale converge pour $\alpha > 1$, et pour $\alpha \leq 1$ elle diverge, mais converge absolument.

Ce produit numérique est une solution aux tâches de l'option 2 du devoir individuel n° 12.1 sur l'analyse mathématique, dont l'auteur est Ryabushko A.P. Les solutions sont présentées sous la forme d'un document électronique avec un beau design HTML, ce qui les rend faciles à lire et à utiliser. Ce produit est destiné aux étudiants et aux enseignants intéressés par l'apprentissage du calcul et souhaitant tester leurs connaissances dans la pratique. Grâce au format pratique, les solutions peuvent être utilisées aussi bien pour un travail indépendant que comme support pédagogique.

IDZ 12.1 – Option 2. Solutions Ryabushko A.P. est un produit numérique qui contient des solutions aux problèmes inclus dans la deuxième version du devoir individuel n° 12.1 sur l'analyse mathématique, rédigé par l'auteur Ryabushko A.P. Les solutions sont présentées sous la forme d'un document électronique avec un beau design HTML, ce qui les rend faciles à utiliser.

Les solutions à cette option contiennent des problèmes consistant à prouver la convergence d'une série et à trouver sa somme, en étudiant la convergence de diverses séries avec des termes positifs et des séries alternées. Pour chaque problème, des solutions détaillées sont données en utilisant les caractéristiques théoriques correspondantes.

Ce produit peut être utile aux étudiants et aux enseignants qui étudient l'analyse mathématique et souhaitent tester leurs connaissances dans la pratique. Les solutions peuvent être utilisées aussi bien pour un travail indépendant que comme support pédagogique.

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