IDZ Ryabushko 4.1 Option 6

Nr. 1 Kanonische Gleichungen für Kurven aufstellen:

a) Ellipse: Die Gleichung der Ellipse hat die folgende Form: (x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1, wobei (h,k) die Koordinaten des Mittelpunkts der Ellipse sind, a die Länge der großen Halbachse, b ist die Länge der kleinen Halbachse. Die Brennpunkte liegen im Abstand c = √(a²-b²) vom Zentrum, die Exzentrizität beträgt ε = c/a.

b) Hyperbeln: Die Gleichung einer Hyperbel hat die folgende Form: (x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1, wobei (h,k) die Koordinaten des Mittelpunkts der Hyperbel sind, a der Abstand vom Mittelpunkt zu den Eckpunkten der Hyperbel, b ist der Abstand vom Mittelpunkt zu den Asymptoten. Die Brennpunkte liegen im Abstand c = √(a²+b²) vom Zentrum, die Exzentrizität beträgt ε = c/a. Gleichungen von Asymptoten: y = ±(b/a)(x-h) + k.

c) Parabeln: Die Gleichung einer Parabel hat die folgende Form: y² = 2px, wobei (0,p) die Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel sind, p die Brennweite ist, D die Leitlinie der Parabel ist, also befindet sich im Abstand p vom Scheitelpunkt.

Um Probleme zu lösen, müssen bekannte Daten verwendet werden: die Koordinaten der Punkte A und B, die Koordinaten des Fokus F, die Länge der großen Halbachse a, die Länge der kleinen Halbachse b, Exzentrizität ε, der Neigungswinkel der Symmetrieachse der Parabel, die Koordinate des Punktes M und der Abstand von diesem zum Punkt A und der Geraden x =8 sowie der Winkel φ im Polarkoordinatensystem.

Nr. 2 Die Gleichung eines Kreises, der durch Punkt A(0;-3) verläuft und einen Mittelpunkt im Punkt A hat, kann als (x−a)²+(y−b)²=r² geschrieben werden. Wenn der Mittelpunkt des Kreises im Punkt A liegt, sind die Koordinaten des Mittelpunkts (a,b). Es ist auch bekannt, dass der Kreis durch Punkt A verläuft, daher wird seine Gleichung als (x−a)²+(y−b+3)²=r² geschrieben. Es bleibt noch der Radius r zu finden. Dazu können Sie die Koordinaten des linken Fokus der Hyperbel verwenden, der die Gleichung 3x²-4y²=12 hat. Der linke Fokus liegt im Abstand c=√(a²+b²) vom Mittelpunkt der Hyperbel, wobei a=√3/2, b=√2. Aus der Gleichung c²=a²+b² ergibt sich c=√7/2. Dann beträgt der Abstand vom Mittelpunkt der Hyperbel zu ihrem Scheitelpunkt a=√3/2. Offensichtlich liegt der linke Fokus auf dem Segment zwischen den Eckpunkten der Hyperbel, sodass die Koordinaten des linken Fokus als (a-c,0) ermittelt werden können. Wenn wir diesen Punkt in die Kreisgleichung einsetzen, erhalten wir (a-c)²+(b+3)²=r². Jetzt muss noch ein System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten a und b gelöst werden, um die Koordinaten des Kreismittelpunkts und seines Radius r zu ermitteln.

Nr. 3 Die Gleichung einer Geraden, deren jeder Punkt M die gegebenen Bedingungen erfüllt, kann als Kreisgleichung mit einem Mittelpunkt im Punkt A(1;0) und einem Radius r=1/5 aus der Entfernung von geschrieben werden Punkt M zur Geraden x=8. Somit hat die Kreisgleichung die Form (x-1)²+y²=(1/5d)², wobei d der Abstand vom Punkt M zur Geraden x=8 ist. Der Abstand von Punkt M zu Punkt A beträgt 1, also d=5/

Nr. 1 Kanonische Gleichungen für Kurven aufstellen:

a) Ellipse: Die Gleichung der Ellipse hat die folgende Form: (x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1, wobei (h,k) die Koordinaten des Mittelpunkts der Ellipse sind, a die Länge der großen Halbachse, b ist die Länge der kleinen Halbachse. Die Brennpunkte liegen im Abstand c = √(a²-b²) vom Zentrum, die Exzentrizität beträgt ε = c/a.

b) Hyperbeln: Die Gleichung einer Hyperbel hat die folgende Form: (x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1, wobei (h,k) die Koordinaten des Mittelpunkts der Hyperbel sind, a der Abstand vom Mittelpunkt zu den Eckpunkten der Hyperbel, b ist der Abstand vom Mittelpunkt zu den Asymptoten. Die Brennpunkte liegen im Abstand c = √(a²+b²) vom Zentrum, die Exzentrizität beträgt ε = c/a. Gleichungen von Asymptoten: y = ±(b/a)(x-h) + k.

c) Parabeln: Die Gleichung einer Parabel hat die folgende Form: y² = 2px, wobei (0,p) die Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel sind, p die Brennweite ist, D die Leitlinie der Parabel ist, also befindet sich im Abstand p vom Scheitelpunkt.

Um Probleme zu lösen, müssen bekannte Daten verwendet werden: die Koordinaten der Punkte A und B, die Koordinaten des Fokus F, die Länge der großen Halbachse a, die Länge der kleinen Halbachse b, Exzentrizität ε, der Neigungswinkel der Symmetrieachse der Parabel, die Koordinate des Punktes M und der Abstand von diesem zum Punkt A und der Geraden x =8 sowie der Winkel φ im Polarkoordinatensystem.

Nr. 2 Die Gleichung eines Kreises, der durch Punkt A(0;-3) verläuft und einen Mittelpunkt im Punkt A hat, kann als (x−a)²+(y−b)²=r² geschrieben werden. Wenn der Mittelpunkt des Kreises im Punkt A liegt, sind die Koordinaten des Mittelpunkts (a,b). Es ist auch bekannt, dass der Kreis durch Punkt A verläuft, daher wird seine Gleichung als (x−a)²+(y−b+3)²=r² geschrieben. Es bleibt noch der Radius r zu finden. Dazu können Sie die Koordinaten des linken Fokus der Hyperbel verwenden, der die Gleichung 3x²-4y²=12 hat. Der linke Fokus liegt im Abstand c=√(a²+b²) vom Mittelpunkt der Hyperbel, wobei a=√3/2, b=√2. Aus der Gleichung c²=a²+b² ergibt sich c=√7/2. Dann beträgt der Abstand vom Mittelpunkt der Hyperbel zu ihrem Scheitelpunkt a=√3/2. Offensichtlich liegt der linke Fokus auf dem Segment zwischen den Eckpunkten der Hyperbel, sodass die Koordinaten des linken Fokus als (a-c,0) ermittelt werden können. Wenn wir diesen Punkt in die Kreisgleichung einsetzen, erhalten wir (a-c)²+(b+3)²=r². Jetzt muss noch ein System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten a und b gelöst werden, um die Koordinaten des Kreismittelpunkts und seines Radius r zu ermitteln.

Nr. 3 Die Gleichung einer Geraden, deren jeder Punkt M die gegebenen Bedingungen erfüllt, kann als Kreisgleichung mit einem Mittelpunkt im Punkt A(1;0) und einem Radius r=1/5 aus der Entfernung von geschrieben werden Punkt M zur Geraden x=8. Somit hat die Kreisgleichung die Form (x-1)²+y²=(1/5d)², wobei d der Abstand vom Punkt M zur Geraden x=8 ist. Der Abstand von Punkt M zu Punkt A beträgt 1, also d=5/6. Wenn wir diesen Wert in die Kreisgleichung einsetzen, erhalten wir (x-1)²+y²=1/36. Somit lautet die Gleichung der gewünschten Linie x²+y²-2x=1/36.

Nr. 4 Die im Polarkoordinatensystem als ρ=3(1+sinφ) definierte Kurve stellt ein Rosenblatt dar. Um es in einem kartesischen Koordinatensystem zu konstruieren, ist es notwendig, Polarkoordinaten in kartesische umzuwandeln. Die Umrechnungsformeln lauten x=ρcosφ, y=ρsinφ. Wenn wir den Ausdruck für ρ einsetzen, erhalten wir x=3cosφ+3cos²φsinφ, y=3sinφ+3sin²φcosφ. Somit hat die Gleichung der gewünschten Kurve die Form x²+y²=3(3+2sinφ+sin²φ).

Nr. 5 Die durch die parametrischen Gleichungen x=cos(t), y=sin(t) definierte Kurve ist ein Kreis mit Einheitsradius, dessen Mittelpunkt im Ursprung liegt. Um seinen Graphen auf einer Ebene darzustellen, ist es notwendig, die Werte der x- und y-Koordinaten für jeden Wert des Parameters t von 0 bis 2π zu konstruieren. Die Visualisierung der Kurve ist ein Kreis, der durch alle Punkte mit den Koordinaten (cos(t),sin(t)) verläuft.

IDZ Ryabushko 4.1 Option 6 ist eine Reihe von Problemen in der Mathematik, die Aufgaben zum Erstellen kanonischer Gleichungen für Kurven (Ellipsen, Hyperbeln und Parabeln), zum Finden der Gleichung eines Kreises, der durch einen bestimmten Punkt verläuft und einen bestimmten Mittelpunkt hat, sowie umfasst Zusammenstellen einer Gleichungslinie in Form einer Kreisgleichung mit gegebenem Mittelpunkt und Radius. Zur Lösung von Problemen ist es notwendig, bekannte Daten wie Punktkoordinaten, Brennpunkte, Längen von Halbachsen und Abstände sowie Winkel und Koordinaten von Punkten in verschiedenen Koordinatensystemen zu verwenden.

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IDZ Ryabushko 4.1 Option 6 ist eine Aufgabe, die fünf verschiedene Probleme aus verschiedenen Bereichen der Mathematik umfasst:

1. Erstellen Sie eine kanonische Gleichung für eine Ellipse, eine Hyperbel und eine Parabel, die durch bestimmte Punkte verlaufen und bestimmte Parameter wie große Halb- und Nebenachsen, Exzentrizität, Gleichungen von Asymptoten und Leitlinien, Brennweite usw. haben.

2. Schreiben Sie die Gleichung eines Kreises auf, dessen Mittelpunkt an einem gegebenen Punkt A liegt, der durch einen anderen gegebenen Punkt verläuft und die Bedingung erfüllt.

3. Schreiben Sie eine Gleichung einer Geraden, deren Punkte alle einen bestimmten Abstand von einem bestimmten Punkt und einer bestimmten Geraden haben.

4. Konstruieren Sie eine in einem Polarkoordinatensystem angegebene Kurve.

5. Konstruieren Sie eine durch parametrische Gleichungen definierte Kurve für Parameterwerte von 0 bis 2π.

Jedes Problem erfordert die Anwendung spezifischer mathematischer Kenntnisse und Fähigkeiten wie analytische Geometrie, Trigonometrie, Algebra und Differentialgleichungen. Die Lösung jedes Problems kann je nach seinen Bedingungen unterschiedliche Lösungsmethoden erfordern.

IDZ Ryabushko 4.1 Option 6 ist eine Bildungsaufgabe für Schulkinder, herausgegeben vom Verlag „Ryabushko“. Diese Version des IDL richtet sich an Schüler der 4. Klasse und enthält Aufgaben in Mathematik, der russischen Sprache, der Umwelt und anderen Fächern.

IDZ Ryabushko 4.1 Option 6 ist eine der Optionen für freigegebene Aufgaben und kann sich in der Anzahl und Komplexität der Aufgaben von anderen Optionen unterscheiden. Dem IDZ liegt in der Regel eine Erläuterung für Eltern oder Lehrer bei, die ihnen hilft, die Aufgaben zu verstehen und die Arbeit des Schülers richtig zu organisieren.

Typischerweise wird das IDL zu Themen ausgestellt, die im laufenden Studienjahr behandelt werden, und soll die im Unterricht erworbenen Kenntnisse und Fähigkeiten festigen. IDZ Ryabushko 4.1 Option 6 kann als zusätzliches Material für die selbstständige Arbeit der Studierenden zu Hause oder als Test im Unterricht verwendet werden.

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