IDZ 12.1 – 选项 2。解决方案 Ryabushko A.P.

任务1。证明级数的收敛性并求其和。

考虑级数 $\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n!}$。为了研究其收敛性，我们使用达朗贝尔检验：

$$\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{2^{n+1}}{(n+1 )!} \cdot \frac{n!}{2^n} = \lim_{n\to\infty} \frac{2}{n+1} = 0.$$

这样，级数就收敛了。为了求其总和，我们使用指数公式：

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n!} = e^2。$$

任务 2。检查指示的级数是否具有收敛的正项。

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{2^n}$

为了研究这个级数的收敛性，我们使用达朗贝尔检验：

$$\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)!}{2^{n+ 1}} \cdot \frac{2^n}{n!} = \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{2} = \infty,$$

也就是说，级数是发散的。

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n\ln^2 n}$

为了研究该级数的收敛性，我们使用积分准则：

$$\int_2^\infty \frac{dx}{x\ln^2 x} = \left[-\frac{1}{\ln x}\right]_2^\infty = \frac{1}{\ 2}

即级数收敛。

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n\ln n}$

为了研究该级数的收敛性，我们还使用积分准则：

$$\int_2^\infty \frac{dx}{x\ln x} = \ln(\ln x)\bigg|_2^\infty = \infty,$$

也就是说，级数是发散的。

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha}$，其中 $0

为了研究该级数的收敛性，我们使用积分准则：

$$\int_1^\infty \frac{dx}{x^\alpha} = \begin{cases}\frac{1}{\alpha-1}, &\text{=\infty}\alpha > 1\\ infty, & \text{s} \alpha \leq 1 \end{cases}$$

因此，级数在 $\alpha > 1$ 时收敛，在 $\alpha \leq 1$ 时发散。

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(\ln n)^\alpha}$，其中 $0

为了研究该级数的收敛性，我们还使用积分准则：

$$\int_2^\infty \frac{dx}{x(\ln x)^\alpha} = \begin{cases}\frac{1}{\alpha-1}\left(\frac{1}{( \ln 2)^{\alpha-1}} - \lim_{x\to\infty}\frac{1}{(\ln x)^{\alpha-1}}\right), &\text{если } \alpha > 1 \ \infty, & \text{文本} \alpha \leq 1 \end{案例}$$

因此，级数在 $\alpha > 1$ 时收敛，在 $\alpha \leq 1$ 时发散。

任务号 7。检查交替级数的收敛性和绝对收敛性。

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}$

为了检查这个交替级数的收敛性，我们使用莱布尼茨检验：序列 $\left|\frac{1}{n}\right|$ 单调递减至零。此外，为了研究绝对收敛性，我们将使用与调和级数的比较：

$$\sum_{n=1}^\infty \left|\frac{(-1)^n}{n}\right| = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$$

该级数发散，因为它是调和级数。因此，原来的符号交替级数收敛，但不绝对收敛。

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^\alpha}$，其中 $0

为了检查这个交替级数的收敛性，我们使用莱布尼茨检验：序列 $\left|\frac{1}{n^\alpha}\right|$ 单调递减至零。为了研究绝对收敛性，我们使用与调和级数的比较：

$$\sum_{n=1}^\infty \left|\frac{(-1)^n}{n^\alpha}\right| = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha}$$

该级数在 $\alpha > 1$ 时收敛，在 $\alpha \leq 1$ 时发散。因此，原始交替级数在 $\alpha > 1$ 时收敛，而在 $\alpha \leq 1$ 时发散，但绝对收敛。

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