IDZ 12.1 – Optie 2. Oplossingen Ryabushko A.P.

Taak nr. 1. Bewijs de convergentie van de reeks en bepaal de som ervan.

Beschouw de reeks $\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n!}$. Om de convergentie ervan te bestuderen, gebruiken we de test van D'Alembert:

$$\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{2^{n+1}}{(n+1 )!} \cdot \frac{n!}{2^n} = \lim_{n\to\infty} \frac{2}{n+1} = 0.$$

De reeks convergeert dus. Om de som ervan te vinden, gebruiken we de formule voor de exponent:

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n!} = e^2.$$

Taak nr. 2. Bestudeer de aangegeven reeksen met positieve termen voor convergentie.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{2^n}$

Om de convergentie van deze reeks te bestuderen, gebruiken we de test van D'Alembert:

$$\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)!}{2^{n+ 1}} \cdot \frac{2^n}{n!} = \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{2} = \infty,$$

dat wil zeggen, de reeks divergeert.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n\ln^2 n}$

Om de convergentie van deze reeks te bestuderen, gebruiken we het integrale criterium:

$$\int_2^\infty \frac{dx}{x\ln^2 x} = \left[-\frac{1}{\ln x}\right]_2^\infty = \frac{1}{\ ln 2}

dat wil zeggen, de reeks convergeert.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n\ln n}$

Om de convergentie van deze reeks te bestuderen, gebruiken we ook de integraaltest:

$$\int_2^\infty \frac{dx}{x\ln x} = \ln(\ln x)\bigg|_2^\infty = \infty,$$

dat wil zeggen, de reeks divergeert.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha}$, waarbij $0

Om de convergentie van deze reeks te bestuderen, gebruiken we het integrale criterium:

$$\int_1^\infty \frac{dx}{x^\alpha} = \begin{cases}\frac{1}{\alpha-1}, &\text{=\infty}\alpha > 1\\ infty, & \text{s} \alpha \leq 1 \end{cases}$$

De reeks convergeert dus voor $\alpha > 1$ en divergeert voor $\alpha \leq 1$.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(\ln n)^\alpha}$, waarbij $0

Om de convergentie van deze reeks te bestuderen, gebruiken we ook de integraaltest:

$$\int_2^\infty \frac{dx}{x(\ln x)^\alpha} = \begin{cases}\frac{1}{\alpha-1}\left(\frac{1}{( \ln 2)^{\alpha-1}} - \lim_{x\to\infty}\frac{1}{(\ln x)^{\alpha-1}}\right), &\text{если } \alpha > 1 \ \infty, & \text{text } \alpha \leq 1 \end{cases}$$

De reeks convergeert dus voor $\alpha > 1$ en divergeert voor $\alpha \leq 1$.

Taak nr. 7. Onderzoek afwisselende reeksen op convergentie en absolute convergentie.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}$

Om de convergentie van deze afwisselende reeks te onderzoeken, gebruiken we de test van Leibniz: de reeks $\left|\frac{1}{n}\right|$ neemt monotoon af tot nul. Om de absolute convergentie te bestuderen, zullen we ook een vergelijking met de harmonische reeks gebruiken:

$$\sum_{n=1}^\infty \left|\frac{(-1)^n}{n}\right| = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$$

Deze reeks divergeert omdat het een harmonische reeks is. De oorspronkelijke afwisselende reeks convergeert dus, maar convergeert niet absoluut.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^\alpha}$, waarbij $0

Om de convergentie van deze afwisselende reeks te onderzoeken, gebruiken we de test van Leibniz: de reeks $\left|\frac{1}{n^\alpha}\right|$ neemt monotoon af tot nul. Om absolute convergentie te bestuderen, gebruiken we een vergelijking met een harmonische reeks:

$$\sum_{n=1}^\infty \left|\frac{(-1)^n}{n^\alpha}\right| = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha}$$

Deze reeks convergeert voor $\alpha > 1$ en divergeert voor $\alpha \leq 1$. De oorspronkelijke afwisselende reeks convergeert dus voor $\alpha > 1$, en voor $\alpha \leq 1$ divergeert deze, maar convergeert deze absoluut.

Dit digitale product is een oplossing voor de taken van optie 2 van Individueel huiswerk nr. 12.1 over wiskundige analyse, waarvan de auteur Ryabushko A.P. De oplossingen worden gepresenteerd in de vorm van een elektronisch document met een mooi html-ontwerp, waardoor ze gemakkelijk te lezen en te gebruiken zijn. Dit product is bedoeld voor studenten en docenten die geïnteresseerd zijn in het leren van rekenen en hun kennis in de praktijk willen testen. Dankzij het handige formaat kunnen de oplossingen zowel voor zelfstandig werk als als hulpmiddel bij het lesgeven worden gebruikt.

IDZ 12.1 – Optie 2. Oplossingen Ryabushko A.P. is een digitaal product dat oplossingen bevat voor problemen die zijn opgenomen in de tweede versie van Individueel huiswerk nr. 12.1 over wiskundige analyse, geschreven door de auteur Ryabushko A.P. De oplossingen worden gepresenteerd in de vorm van een elektronisch document met een prachtig HTML-ontwerp, waardoor ze gemakkelijk te gebruiken zijn.

De oplossingen voor deze optie bevatten problemen bij het bewijzen van de convergentie van een reeks en het vinden van de som ervan, waarbij de convergentie van verschillende reeksen met positieve termen en afwisselende reeksen wordt bestudeerd. Voor elk probleem worden gedetailleerde oplossingen gegeven met behulp van de overeenkomstige theoretische kenmerken.

Dit product kan nuttig zijn voor studenten en docenten die wiskundige analyse studeren en hun kennis in de praktijk willen testen. Oplossingen kunnen zowel voor zelfstandig werk als als hulpmiddel bij het lesgeven worden gebruikt.

***

IDZ 12.1 – Optie 2. Oplossingen Ryabushko A.P. is een verzameling kant-en-klare oplossingen voor huiswerkopdrachten in de wiskunde voor leerlingen van het 12e leerjaar. De oplossingen worden gepresenteerd door de auteur - Ryabushko A.P. en behandel problemen over verschillende onderwerpen, zoals matrices, stelsels van vergelijkingen, afgeleiden en andere. De collectie bevat gedetailleerde oplossingen voor taken met stapsgewijze beschrijvingen, waardoor u de stof beter kunt begrijpen en uw kennisniveau kunt vergroten. Deze collectie kan nuttig zijn voor zowel studenten als wiskundedocenten.

***

1. Uitstekende kwaliteit van probleemoplossingen!
2. Snelle en gemakkelijke probleemoplossing dankzij het digitale formaat.
3. Zeer nuttig materiaal ter voorbereiding op het examen.
4. Beslissingen Ryabuschko A.P. helpen je de stof beter te begrijpen.
5. Handig formaat voor zelfstandig werken.
6. Ik raad het iedereen aan die het examen met succes wil behalen!
7. Goede voorbereiding op de IDZ en het examen in het algemeen.
8. Door een groot aantal taken kunt u alle aspecten van het materiaal duidelijk zien.
9. Een zeer handig formaat waarmee u problemen snel en efficiënt kunt oplossen.
10. Studie van IDZ 12.1 – Optie 2. Oplossingen Ryabushko A.P. helpen het begrip van de stof te verbeteren en de academische prestaties te verbeteren.
11. Een geweldige optie voor degenen die zich willen voorbereiden op een wiskunde-examen. Beslissingen Ryabuschko A.P. heeft mij geholpen onderwerpen beter te begrijpen en te leren hoe ik problemen kan oplossen.
12. Dank aan de auteur voor zulk nuttig materiaal! IDZ 12.1 – Optie 2 heeft mij enorm geholpen bij de voorbereiding op het wiskunde-examen.
13. Ik wist niet hoe ik me moest voorbereiden op het wiskunde-examen, maar dankzij IDZ 12.1 – Optie 2 en de oplossingen van Ryabushko A.P. Ik kan er met vertrouwen doorheen gaan.
14. Beslissingen Ryabuschko A.P. volgens IDZ 12.1 - Optie 2 zijn zeer goed gestructureerd en helpen u de stof gemakkelijk te begrijpen.
15. Dit digitale product is een uitkomst voor degenen die een uitstekend cijfer voor wiskunde willen behalen. Beslissingen Ryabuschko A.P. volgens IDZ 12.1 - Optie 2 helpt mij de stof beter te begrijpen.
16. IDZ 12.1 – Optie 2 met oplossingen van A.P. Ryabushko - een uitstekende keuze voor degenen die hun kennis in wiskunde willen verbeteren en zich willen voorbereiden op het examen.
17. Zonder beslissingen Ryabuschko A.P. Ik zou niet veel problemen kunnen oplossen met IPD 12.1 - Optie 2. Bedankt voor dit nuttige materiaal!

Eigenaardigheden:

Oplossingen van IDZ 12.1 - Optie 2 van Ryabushko A.P. heeft me geholpen de stof beter te begrijpen en me voor te bereiden op het examen.

Een erg handig en begrijpelijk formaat voor IPD 12.1-oplossingen - Optie 2, waarmee u snel de informatie kunt vinden die u nodig hebt.

Ik ben de auteur Ryabushko A.P. voor de kwaliteitsoplossingen van de IDZ 12.1 - Optie 2, die me hebben geholpen om de taken met succes af te ronden.

IDZ 12.1 - Optie 2 wordt gekenmerkt door hoge nauwkeurigheid en duidelijkheid van oplossingen, wat het proces van het bestuderen van het materiaal vergemakkelijkt.

Oplossingen van IDZ 12.1 - Optie 2 van Ryabushko A.P. bevatten gedetailleerde uitleg die helpen om de principes van het oplossen van problemen beter te begrijpen.

Ik raad IDZ 12.1 aan - Optie 2 van Ryabushko A.P. Iedereen die zijn kennis op dit gebied wil vergroten.

Met behulp van IDZ 12.1 - Optie 2 van Ryabushko A.P. Ik heb me goed kunnen voorbereiden op het examen en een hoog cijfer kunnen halen.

Oplossingen van IPD 12.1 - Optie 2 zijn van hoge kwaliteit en zijn een onmisbare assistent bij het bestuderen van de stof.

Ik ben de auteur Ryabushko A.P. voor begrijpelijke en toegankelijke oplossingen van IPD 12.1 - Optie 2.

IDZ 12.1 - Optie 2 van Ryabushko A.P. is een uitstekende keuze voor diegenen die hun kennis op dit gebied willen verrijken.