IDZ 12.1 – Вариант 2. Решения Ryabushko A.P.

Задача No1. Докажете сходимостта на редицата и намерете нейната сума.

Разгледайте серията $\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n!}$. За да изследваме неговата конвергенция, използваме теста на D'Alembert:

$$\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{2^{n+1}}{(n+1 )!} \cdot \frac{n!}{2^n} = \lim_{n\to\infty} \frac{2}{n+1} = 0.$$

Така серията се сближава. За да намерим неговата сума, използваме формулата за експонента:

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n!} = e^2.$$

Задача No2. Разгледайте посочените редове с положителни членове за сходимост.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{2^n}$

За да изследваме конвергенцията на тази серия, използваме теста на D’Alembert:

$$\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)!}{2^{n+ 1}} \cdot \frac{2^n}{n!} = \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{2} = \infty,$$

тоест серията се разминава.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n\ln^2 n}$

За да изследваме сходимостта на тази серия, използваме интегралния критерий:

$$\int_2^\infty \frac{dx}{x\ln^2 x} = \left[-\frac{1}{\ln x}\right]_2^\infty = \frac{1}{\ в 2}

т.е. серията се събира.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n\ln n}$

За да изследваме сходимостта на тази серия, ние също използваме интегралния тест:

$$\int_2^\infty \frac{dx}{x\ln x} = \ln(\ln x)\bigg|_2^\infty = \infty,$$

тоест серията се разминава.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha}$, където $0

За да изследваме сходимостта на тази серия, използваме интегралния критерий:

$$\int_1^\infty \frac{dx}{x^\alpha} = \begin{cases}\frac{1}{\alpha-1}, &\text{=\infty}\alpha > 1\\ infty, & \text{s} \alpha \leq 1 \end{cases}$$

По този начин редът се сближава за $\alpha > 1$ и се разминава за $\alpha \leq 1$.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(\ln n)^\alpha}$, където $0

За да изследваме сходимостта на тази серия, ние също използваме интегралния тест:

$$\int_2^\infty \frac{dx}{x(\ln x)^\alpha} = \begin{cases}\frac{1}{\alpha-1}\left(\frac{1}{( \ln 2)^{\alpha-1}} - \lim_{x\to\infty}\frac{1}{(\ln x)^{\alpha-1}}\right), &\text{если } \alpha > 1 \ \infty, & \text{текст } \alpha \leq 1 \end{cases}$$

По този начин редът се сближава за $\alpha > 1$ и се разминава за $\alpha \leq 1$.

Задача No7. Разгледайте редуващи се серии за конвергенция и абсолютна конвергенция.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}$

За да изследваме конвергенцията на тази редуваща се серия, използваме теста на Лайбниц: последователността $\left|\frac{1}{n}\right|$ монотонно намалява до нула. Също така, за да изследваме абсолютната конвергенция, ще използваме сравнение с хармоничната серия:

$$\sum_{n=1}^\infty \left|\frac{(-1)^n}{n}\right| = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$$

Тази серия се разминава, защото е хармонична серия. По този начин първоначалната редуваща се серия се сближава, но не се сближава абсолютно.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^\alpha}$, където $0

За да изследваме конвергенцията на тази редуваща се серия, използваме теста на Лайбниц: последователността $\left|\frac{1}{n^\alpha}\right|$ монотонно намалява до нула. За да изследваме абсолютната конвергенция, използваме сравнение с хармонична серия:

$$\sum_{n=1}^\infty \left|\frac{(-1)^n}{n^\alpha}\right| = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha}$$

Този ред се събира за $\alpha > 1$ и се разминава за $\alpha \leq 1$. По този начин, оригиналната редуваща се серия се сближава за $\alpha > 1$, а за $\alpha \leq 1$ тя се разминава, но се сближава абсолютно.

Този цифров продукт представлява решения на задачите от вариант 2 на Индивидуална домашна работа № 12.1 по математически анализ, чийто автор е Рябушко А.П. Решенията са представени под формата на електронен документ с красив html дизайн, което ги прави лесни за четене и използване. Този продукт е предназначен за студенти и учители, които се интересуват от изучаване на смятане и искат да тестват знанията си на практика. Благодарение на удобния формат, решенията могат да се използват както за самостоятелна работа, така и като учебно помагало.

IDZ 12.1 – Вариант 2. Решения Ryabushko A.P. е дигитален продукт, който съдържа решения на задачи, включени във втората версия на Индивидуална домашна работа № 12.1 по математически анализ, написана от автора Рябушко А.П. Решенията са представени под формата на електронен документ с красив HTML дизайн, което ги прави лесни за използване.

Решенията на тази опция съдържат задачи за доказване на сходимостта на редица и намиране на нейната сума, изучаване на сходимостта на различни серии с положителни членове и редуващи се серии. За всеки проблем са дадени подробни решения с помощта на съответните теоретични характеристики.

Този продукт може да бъде полезен за студенти и учители, които изучават математически анализ и искат да проверят знанията си на практика. Решенията могат да се използват както за самостоятелна работа, така и като учебно помагало.

***

IDZ 12.1 – Вариант 2. Решения Ryabushko A.P. е колекция от готови решения на домашни задачи по математика за ученици от 12 клас. Решенията са представени от автора - Ryabushko A.P. и обхваща проблеми по различни теми като матрици, системи от уравнения, производни и други. Колекцията съдържа подробни решения на задачи с описания стъпка по стъпка, което ви позволява да разберете по-добре материала и да повишите нивото на знания. Този сборник може да бъде полезен както за ученици, така и за учители по математика.

***

1. Отлично качество на решенията на проблеми!
2. Бързо и удобно решаване на проблеми благодарение на цифровия формат.
3. Много полезен материал за подготовка за изпита.
4. Решения Ryabushko A.P. да ви помогне да разберете по-добре материала.
5. Удобен формат за самостоятелна работа.
6. Препоръчвам го на всеки, който иска да издържи успешно изпита!
7. Добра подготовка за ИДЗ и изпита като цяло.
8. Голям брой задачи ви позволяват ясно да видите всички аспекти на материала.
9. Много удобен формат, който помага за бързо и ефективно решаване на проблеми.
10. Изследване на IDZ 12.1 – Вариант 2. Решения Ryabushko A.P. помагат за подобряване на разбирането на материала и подобряване на академичните постижения.
11. Чудесен вариант за тези, които искат да се подготвят за изпит по математика. Решения Ryabushko A.P. ми помогна да разбера по-добре темите и да се науча как да решавам проблеми.
12. Благодаря на автора за толкова полезен материал! IDZ 12.1 – Вариант 2 ми помогна много в подготовката за изпита по математика.
13. Не знаех как да се подготвя за изпита по математика, но благодарение на IDZ 12.1 – Вариант 2 и решенията на Ryabushko A.P. Мога да го премина с увереност.
14. Решения Ryabushko A.P. според IDZ 12.1 - Вариант 2 са много добре структурирани и ви помагат лесно да разберете материала.
15. Този дигитален продукт е божи дар за тези, които искат да получат отлична оценка по математика. Решения Ryabushko A.P. според IDZ 12.1 – Вариант 2 ми помогне да разбера по-добре материала.
16. IDZ 12.1 – Вариант 2 с решения на А. П. Рябушко - отличен избор за тези, които искат да подобрят знанията си по математика и да се подготвят за изпита.
17. Без решения Ryabushko A.P. Не бих могъл да реша много задачи от IPD 12.1 - Вариант 2. Благодаря ви за толкова полезен материал!

Особености:

Решения на IDZ 12.1 - Вариант 2 от Ryabushko A.P. ми помогна да разбера по-добре материала и да се подготвя за изпита.

Много удобен и разбираем формат за решения IPD 12.1 - Вариант 2, който ви позволява бързо да намерите необходимата информация.

Благодарен съм на автора Ryabushko A.P. за качествените решения на IDZ 12.1 - Вариант 2, които ми помогнаха за успешното изпълнение на задачите.

IDZ 12.1 - Вариант 2 се характеризира с висока точност и яснота на решенията, което улеснява процеса на изучаване на материала.

Решения на IDZ 12.1 - Вариант 2 от Ryabushko A.P. съдържат подробни обяснения, които помагат за по-доброто разбиране на принципите за решаване на проблеми.

Препоръчвам IDZ 12.1 - Вариант 2 от Ryabushko A.P. Всеки, който иска да подобри знанията си в тази област.

С помощта на IDZ 12.1 - Вариант 2 от Ryabushko A.P. Успях да се подготвя успешно за изпита и да получа висока оценка.

Решенията на IPD 12.1 - Вариант 2 са с високо качество и са незаменим помощник при изучаването на материала.

Благодарен съм на автора Ryabushko A.P. за разбираеми и достъпни решения на IPD 12.1 - Вариант 2.

IDZ 12.1 - Вариант 2 от Ryabushko A.P. е отличен избор за тези, които искат да обогатят знанията си в тази област.