IDZ 12.1 – 옵션 2. 솔루션 Ryabushko A.P.

작업 번호 1. 급수의 수렴을 증명하고 그 합을 구합니다.

$\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n!}$ 계열을 생각해 보세요. 수렴을 연구하기 위해 D'Alembert의 테스트를 사용합니다.

$$\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{2^{n+1}}{(n+1 )!} \cdot \frac{n!}{2^n} = \lim_{n\to\infty} \frac{2}{n+1} = 0.$$

따라서 계열은 수렴합니다. 합계를 찾으려면 지수 공식을 사용합니다.

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n!} = e^2.$$

작업 번호 2. 수렴에 대한 양의 항으로 표시된 계열을 조사합니다.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{2^n}$

이 계열의 수렴을 연구하기 위해 D'Alembert의 테스트를 사용합니다.

$$\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)!}{2^{n+ 1}} \cdot \frac{2^n}{n!} = \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{2} = \infty,$$

즉, 계열이 분기됩니다.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n\ln^2 n}$

이 계열의 수렴을 연구하기 위해 적분 기준을 사용합니다.

$$\int_2^\infty \frac{dx}{x\ln^2 x} = \left[-\frac{1}{\ln x}\right]_2^\infty = \frac{1}{\ 2에서

즉, 계열은 수렴합니다.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n\ln n}$

이 시리즈의 수렴을 연구하기 위해 적분 테스트도 사용합니다.

$$\int_2^\infty \frac{dx}{x\ln x} = \ln(\ln x)\bigg|_2^\infty = \infty,$$

즉, 계열이 분기됩니다.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha}$, 여기서 $0

이 계열의 수렴을 연구하기 위해 적분 기준을 사용합니다.

$$\int_1^\infty \frac{dx}{x^\alpha} = \begin{cases}\frac{1}{\alpha-1}, &\text{=\infty}\alpha > 1\\ infty, & \text{s} \alpha \leq 1 \end{cases}$$

따라서 급수는 $\alpha > 1$에 대해 수렴하고 $\alpha \leq 1$에 대해 발산합니다.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(\ln n)^\alpha}$, 여기서 $0

이 시리즈의 수렴을 연구하기 위해 적분 테스트도 사용합니다.

$$\int_2^\infty \frac{dx}{x(\ln x)^\alpha} = \begin{cases}\frac{1}{\alpha-1}\left(\frac{1}{( \ln 2)^{\alpha-1}} - \lim_{x\to\infty}\frac{1}{(\ln x)^{\alpha-1}}\right), & \text{если } \alpha > 1 \ \infty, & \text{text } \alpha \leq 1 \end{cases}$$

따라서 급수는 $\alpha > 1$에 대해 수렴하고 $\alpha \leq 1$에 대해 발산합니다.

작업 번호 7. 수렴과 절대 수렴에 대한 교대 계열을 조사합니다.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}$

이 교대 계열의 수렴을 조사하기 위해 라이프니츠의 테스트를 사용합니다. 시퀀스 $\left|\frac{1}{n}\right|$는 단조롭게 0으로 감소합니다. 또한 절대 수렴을 연구하기 위해 조화 계열과의 비교를 사용합니다.

$$\sum_{n=1}^\infty \left|\frac{(-1)^n}{n}\right| = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$$

이 계열은 조화 계열이기 때문에 발산합니다. 따라서 원래의 교번 계열은 수렴하지만 완전히 수렴하지는 않습니다.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^\alpha}$, 여기서 $0

이 교대 계열의 수렴을 조사하기 위해 라이프니츠의 테스트를 사용합니다. 시퀀스 $\left|\frac{1}{n^\alpha}\right|$는 단조롭게 0으로 감소합니다. 절대 수렴을 연구하기 위해 조화 계열과의 비교를 사용합니다.

$$\sum_{n=1}^\infty \left|\frac{(-1)^n}{n^\alpha}\right| = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha}$$

이 급수는 $\alpha > 1$에 대해 수렴하고 $\alpha \leq 1$에 대해 발산합니다. 따라서 원래 교번 급수는 $\alpha > 1$에 대해 수렴하고, $\alpha \leq 1$에 대해서는 발산하지만 절대적으로 수렴합니다.

이 디지털 제품은 수학적 분석에 관한 개인 숙제 번호 12.1의 옵션 2 작업에 대한 솔루션이며 저자는 Ryabushko A.P입니다. 솔루션은 읽기 쉽고 사용하기 쉬운 아름다운 HTML 디자인의 전자 문서 형식으로 제공됩니다. 이 제품은 미적분학 학습에 관심이 있고 실제 지식을 테스트하려는 학생과 교사를 위한 것입니다. 편리한 형식 덕분에 솔루션은 독립적인 작업과 교육 보조 도구로 모두 사용할 수 있습니다.

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