IDZ 12.1 – Alternativ 2. Løsninger Ryabushko A.P.

Oppgave nr. 1. Bevis konvergensen til serien og finn summen.

Tenk på serien $\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n!}$. For å studere konvergensen bruker vi D'Alemberts test:

$$\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{2^{n+1}}{(n+1 )!} \cdot \frac{n!}{2^n} = \lim_{n\to\infty} \frac{2}{n+1} = 0,$$

Dermed konvergerer serien. For å finne summen bruker vi formelen for eksponenten:

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n!} = e^2.$$

Oppgave nr. 2. Undersøk den angitte serien med positive termer for konvergens.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{2^n}$

For å studere konvergensen til denne serien bruker vi D'Alemberts test:

$$\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)!}{2^{n+ 1}} \cdot \frac{2^n}{n!} = \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{2} = \infty,$$

det vil si at serien divergerer.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n\ln^2 n}$

For å studere konvergensen til denne serien bruker vi integralkriteriet:

$$\int_2^\infty \frac{dx}{x\ln^2 x} = \venstre[-\frac{1}{\ln x}\right]_2^\infty = \frac{1}{\ ln 2}

det vil si at serien konvergerer.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n\ln n}$

For å studere konvergensen til denne serien bruker vi også integraltesten:

$$\int_2^\infty \frac{dx}{x\ln x} = \ln(\ln x)\bigg|_2^\infty = \infty,$$

det vil si at serien divergerer.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha}$, hvor $0

For å studere konvergensen til denne serien bruker vi integralkriteriet:

$$\int_1^\infty \frac{dx}{x^\alpha} = \begin{cases}\frac{1}{\alpha-1}, &\text{=\infty}\alpha > 1\\ infty, & \text{s} \alpha \leq 1 \end{cases}$$

Dermed konvergerer serien for $\alpha > 1$ og divergerer for $\alpha \leq 1$.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(\ln n)^\alpha}$, hvor $0

For å studere konvergensen til denne serien bruker vi også integraltesten:

$$\int_2^\infty \frac{dx}{x(\ln x)^\alpha} = \begin{cases}\frac{1}{\alpha-1}\left(\frac{1}{( \ln 2)^{\alpha-1}} - \lim_{x\to\infty}\frac{1}{(\ln x)^{\alpha-1}}\right), &\text{если } \alpha > 1 \ \infty, & \text{tekst } \alpha \leq 1 \end{cases}$$

Dermed konvergerer serien for $\alpha > 1$ og divergerer for $\alpha \leq 1$.

Oppgave nr. 7. Undersøk alternerende serier for konvergens og absolutt konvergens.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}$

For å undersøke konvergensen til denne alternerende serien bruker vi Leibniz sin test: sekvensen $\left|\frac{1}{n}\right|$ reduseres monotont til null. For å studere absolutt konvergens, vil vi også bruke en sammenligning med den harmoniske serien:

$$\sum_{n=1}^\infty \left|\frac{(-1)^n}{n}\right| = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$$

Denne serien divergerer fordi det er en harmonisk serie. Dermed konvergerer den opprinnelige tegnvekslende serien, men konvergerer ikke absolutt.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^\alpha}$, hvor $0

For å undersøke konvergensen til denne alternerende serien bruker vi Leibniz sin test: sekvensen $\left|\frac{1}{n^\alpha}\right|$ reduseres monotont til null. For å studere absolutt konvergens bruker vi en sammenligning med en harmonisk serie:

$$\sum_{n=1}^\infty \left|\frac{(-1)^n}{n^\alpha}\right| = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha}$$

Denne serien konvergerer for $\alpha > 1$ og divergerer for $\alpha \leq 1$. Dermed konvergerer den opprinnelige alternerende serien for $\alpha > 1$, og for $\alpha \leq 1$ divergerer den, men konvergerer absolutt.

Dette digitale produktet er løsninger på oppgavene til alternativ 2 i Individuell hjemmeoppgave nr. 12.1 om matematisk analyse, forfatteren av dette er Ryabushko A.P. Løsningene presenteres i form av et elektronisk dokument med et vakkert html-design, som gjør dem enkle å lese og bruke. Dette produktet er beregnet på studenter og lærere som er interessert i å lære kalkulus og ønsker å teste kunnskapene sine i praksis. Takket være det praktiske formatet kan løsningene brukes både til selvstendig arbeid og som læremiddel.

IDZ 12.1 – Alternativ 2. Løsninger Ryabushko A.P. er et digitalt produkt som inneholder løsninger på problemer inkludert i den andre versjonen av Individuell hjemmeoppgave nr. 12.1 om matematisk analyse, skrevet av forfatteren Ryabushko A.P. Løsningene presenteres i form av et elektronisk dokument med et vakkert HTML-design, som gjør dem enkle å bruke.

Løsningene på dette alternativet inneholder problemer med å bevise konvergensen til en serie og finne dens sum, studere konvergensen til forskjellige serier med positive termer og alternerende serier. For hvert problem er det gitt detaljerte løsninger ved å bruke de tilsvarende teoretiske funksjonene.

Dette produktet kan være nyttig for studenter og lærere som studerer matematisk analyse og ønsker å teste kunnskapene sine i praksis. Løsningene kan brukes både til selvstendig arbeid og som læremiddel.

***

IDZ 12.1 – Alternativ 2. Løsninger Ryabushko A.P. er en samling ferdige løsninger for hjemmeoppgaver i matematikk for 12. klasseelever. Løsningene presenteres av forfatteren - Ryabushko A.P. og dekke problemer om ulike emner som matriser, ligningssystemer, deriverte og andre. Samlingen inneholder detaljerte løsninger på oppgaver med trinnvise beskrivelser, som lar deg bedre forstå materialet og øke kunnskapsnivået ditt. Denne samlingen kan være nyttig for både elever og matematikklærere.

***

1. Utmerket kvalitet på problemløsninger!
2. Rask og praktisk problemløsning takket være det digitale formatet.
3. Veldig nyttig materiell for forberedelse til eksamen.
4. Avgjørelser Ryabushko A.P. hjelpe deg å forstå materialet bedre.
5. Praktisk format for selvstendig arbeid.
6. Jeg anbefaler det til alle som ønsker å bestå eksamen!
7. Gode ​​forberedelser til IDZ og eksamen generelt.
8. Et stort antall oppgaver lar deg tydelig se alle aspekter av materialet.
9. Et veldig praktisk format som hjelper deg med å løse problemer raskt og effektivt.
10. Studie av IDZ 12.1 – Alternativ 2. Løsninger Ryabushko A.P. bidra til å forbedre forståelsen av materialet og forbedre akademiske prestasjoner.
11. Et flott alternativ for de som ønsker å forberede seg til en matteeksamen. Avgjørelser Ryabushko A.P. hjalp meg bedre å forstå emner og lære å løse problemer.
12. Takk til forfatteren for så nyttig materiale! IDZ 12.1 – Alternativ 2 hjalp meg mye med å forberede meg til matteeksamenen.
13. Jeg visste ikke hvordan jeg skulle forberede meg til matteeksamenen, men takket være IDZ 12.1 – Alternativ 2 og løsningene til Ryabushko A.P. Jeg kan passere det med selvtillit.
14. Avgjørelser Ryabushko A.P. for IDZ 12.1 - Alternativ 2 er veldig godt strukturert og hjelper deg enkelt å forstå materialet.
15. Dette digitale produktet er en gudegave for de som ønsker å få en utmerket karakter i matematikk. Avgjørelser Ryabushko A.P. i henhold til IDZ 12.1 - Alternativ 2 hjelper meg å forstå materialet bedre.
16. IDZ 12.1 – Alternativ 2 med løsninger av A.P. Ryabushko - et utmerket valg for de som ønsker å forbedre sine kunnskaper i matematikk og forberede seg til eksamen.
17. Uten avgjørelser Ryabushko A.P. Jeg ville ikke være i stand til å løse mange problemer fra IPD 12.1 - Alternativ 2. Takk for så nyttig materiale!

Egendommer:

Løsninger av IDZ 12.1 - Alternativ 2 fra Ryabushko A.P. hjalp meg til å bedre forstå materialet og forberede meg til eksamen.

Et veldig praktisk og forståelig format for IPD 12.1-løsninger - Alternativ 2, som lar deg raskt finne informasjonen du trenger.

Jeg er takknemlig overfor forfatteren Ryabushko A.P. for kvalitetsløsningene til IDZ 12.1 - Alternativ 2, som hjalp meg til å fullføre oppgavene.

IDZ 12.1 - Alternativ 2 er preget av høy nøyaktighet og klarhet av løsninger, noe som letter prosessen med å studere materialet.

Løsninger av IDZ 12.1 - Alternativ 2 fra Ryabushko A.P. inneholder detaljerte forklaringer som bidrar til å bedre forstå prinsippene for å løse problemer.

Jeg anbefaler IDZ 12.1 - Alternativ 2 fra Ryabushko A.P. Alle som ønsker å forbedre sin kunnskap på dette området.

Ved hjelp av IDZ 12.1 - Alternativ 2 fra Ryabushko A.P. Jeg klarte å forberede meg til eksamen og få en høy karakter.

Løsninger av IPD 12.1 - Alternativ 2 er av høy kvalitet og er en uunnværlig assistent i studiet av materialet.

Jeg er takknemlig overfor forfatteren Ryabushko A.P. for forståelige og tilgjengelige løsninger for IPD 12.1 - Alternativ 2.

IDZ 12.1 - Alternativ 2 fra Ryabushko A.P. er et utmerket valg for de som ønsker å berike sin kunnskap på dette området.