IDZ 12.1 – 2. lehetőség. Megoldások Ryabushko A.P.

1. számú feladat. Bizonyítsuk be a sorozatok konvergenciáját, és találjuk meg az összegét!

Tekintsük a $\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n!}$ sorozatot. A konvergenciájának vizsgálatához D'Alembert tesztet használunk:

$$\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{2^{n+1}}{(n+1 )!} \cdot \frac{n!}{2^n} = \lim_{n\to\infty} \frac{2}{n+1} = 0.$$

Így a sorozat konvergál. Az összeg meghatározásához a kitevő képletét használjuk:

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n!} = e^2.$$

2. feladat. Vizsgáljuk meg a jelzett sorozatokat pozitív tagokkal a konvergenciára.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{2^n}$

Ennek a sorozatnak a konvergenciájának tanulmányozásához D’Alembert tesztjét használjuk:

$$\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)!}{2^{n+ 1}} \cdot \frac{2^n}{n!} = \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{2} = \infty,$$

vagyis szétválik a sorozat.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n\ln^2 n}$

Ennek a sorozatnak a konvergenciájának tanulmányozásához az integrál kritériumot használjuk:

$$\int_2^\infty \frac{dx}{x\ln^2 x} = \left[-\frac{1}{\ln x}\right]_2^\infty = \frac{1}{\ ln 2}

vagyis a sorozat összefolyik.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n\ln n}$

Ennek a sorozatnak a konvergenciájának tanulmányozásához integráltesztet is használunk:

$$\int_2^\infty \frac{dx}{x\ln x} = \ln(\ln x)\bigg|_2^\infty = \infty,$$

vagyis szétválik a sorozat.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha}$, ahol $0

Ennek a sorozatnak a konvergenciájának tanulmányozásához az integrál kritériumot használjuk:

$$\int_1^\infty \frac{dx}{x^\alpha} = \begin{cases}\frac{1}{\alpha-1}, &\text{=\infty}\alpha > 1\\ infty, & \text{s} \alpha \leq 1 \end{cases}$$

Így a sorozat $\alpha > 1$ esetén konvergál, és $\alpha \leq 1$ esetén divergál.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(\ln n)^\alpha}$, ahol $0

Ennek a sorozatnak a konvergenciájának tanulmányozásához integráltesztet is használunk:

$$\int_2^\infty \frac{dx}{x(\ln x)^\alpha} = \begin{cases}\frac{1}{\alpha-1}\left(\frac{1}{( \ln 2)^{\alpha-1}} - \lim_{x\to\infty}\frac{1}{(\ln x)^{\alpha-1}}\right), &\text{если } \alpha > 1 \ \infty, & \text{text } \alpha \leq 1 \end{cases}$$

Így a sorozat $\alpha > 1$ esetén konvergál, és $\alpha \leq 1$ esetén divergál.

7. feladat. Vizsgálja meg a váltakozó sorozatokat a konvergenciára és az abszolút konvergenciára.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}$

Ennek a váltakozó sorozatnak a konvergenciájának vizsgálatához Leibniz tesztjét használjuk: a $\left|\frac{1}{n}\right|$ sorozat monoton nullára csökken. Az abszolút konvergencia tanulmányozásához a harmonikus sorozatokkal való összehasonlítást is alkalmazzuk:

$$\sum_{n=1}^\infty \left|\frac{(-1)^n}{n}\right| = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$$

Ez a sorozat eltér, mert harmonikus sorozat. Így az eredeti váltakozó sorozat konvergál, de nem konvergál abszolút.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^\alpha}$, ahol $0

Ennek a váltakozó sorozatnak a konvergenciájának vizsgálatához Leibniz tesztjét használjuk: a $\left|\frac{1}{n^\alpha}\right|$ sorozat monoton nullára csökken. Az abszolút konvergencia vizsgálatához egy harmonikus sorozattal való összehasonlítást használunk:

$$\sum_{n=1}^\infty \left|\frac{(-1)^n}{n^\alpha}\right| = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha}$$

Ez a sorozat $\alpha > 1$ esetén konvergál, és $\alpha \leq 1$ esetén divergál. Így az eredeti váltakozó sorozat $\alpha > 1$ esetén konvergál, $\alpha \leq 1$ esetén pedig divergál, de abszolút konvergál.

Ez a digitális termék a matematikai elemzésről szóló 12.1. számú Egyéni házi feladat 2. lehetőségének feladatainak megoldása, amelynek szerzője Ryabushko A.P. A megoldásokat elektronikus dokumentum formájában mutatjuk be, gyönyörű html dizájnnal, ami megkönnyíti az olvashatóságot és a használhatóságot. Ezt a terméket azoknak a diákoknak és tanároknak szánjuk, akik érdeklődnek a számítástechnika elsajátítása iránt, és a gyakorlatban szeretnék kipróbálni tudásukat. A kényelmes formátumnak köszönhetően a megoldások önálló munkához és oktatási segédletként is használhatók.

IDZ 12.1 – 2. lehetőség. Megoldások Ryabushko A.P. egy digitális termék, amely megoldásokat tartalmaz a matematikai elemzésről szóló 12.1. számú egyéni házi feladat második verziójában található problémákra, amelyeket a szerző, Ryabushko A.P. A megoldásokat elektronikus dokumentum formájában mutatjuk be, gyönyörű HTML dizájnnal, ami megkönnyíti a használatát.

Ennek az opciónak a megoldásai egy sorozat konvergenciájának bizonyítását és összegének megállapítását, a pozitív tagú és váltakozó sorozatok konvergenciájának tanulmányozását tartalmazzák. Minden problémára részletes megoldást adunk a megfelelő elméleti jellemzők felhasználásával.

Ez a termék hasznos lehet azoknak a diákoknak és tanároknak, akik matematikai elemzést tanulnak, és a gyakorlatban szeretnék kipróbálni tudásukat. A megoldások önálló munkához és oktatási segédletként is használhatók.

***

IDZ 12.1 – 2. lehetőség. Megoldások Ryabushko A.P. a matematika házi feladatainak kész megoldásainak gyűjteménye 12. osztályos tanulók számára. A megoldásokat a szerző - Ryabushko A.P. és különféle témákkal kapcsolatos problémákat fed le, mint például a mátrixok, egyenletrendszerek, deriváltok és mások. A gyűjtemény részletes megoldásokat tartalmaz a feladatokra lépésről lépésre leírt leírással, amely lehetővé teszi az anyag jobb megértését és tudásszintjének növelését. Ez a gyűjtemény mind a diákok, mind a matematikatanárok számára hasznos lehet.

***

1. Kiváló minőségű problémamegoldások!
2. Gyors és kényelmes problémamegoldás a digitális formátumnak köszönhetően.
3. Nagyon hasznos anyag a vizsgára való felkészüléshez.
4. Határozatok Ryabushko A.P. segít jobban megérteni az anyagot.
5. Kényelmes formátum az önálló munkához.
6. Mindenkinek ajánlom, aki sikeres vizsgát szeretne tenni!
7. Jó felkészülés az IDZ-re és általában a vizsgára.
8. A feladatok nagy száma lehetővé teszi az anyag minden aspektusának tisztánlátását.
9. Nagyon kényelmes formátum, amely segít a problémák gyors és hatékony megoldásában.
10. Az IDZ 12.1 tanulmánya – 2. lehetőség. Megoldások Ryabushko A.P. segít az anyag megértésének javításában és a tanulmányi teljesítmény javításában.
11. Kiváló lehetőség azoknak, akik matematika vizsgára szeretnének készülni. Határozatok Ryabushko A.P. segített jobban megérteni a témákat, és megtanultam, hogyan kell megoldani a problémákat.
12. Köszönöm a szerzőnek a hasznos anyagot! IDZ 12.1 – A 2. lehetőség sokat segített a matekvizsgára való felkészülésben.
13. Nem tudtam, hogyan kell felkészülni a matekvizsgára, de az IDZ 12.1 – 2. lehetőségnek és a Ryabushko A.P. megoldásainak köszönhetően Bátran át tudom adni.
14. Határozatok Ryabushko A.P. az IDZ 12.1 szerint – A 2. opció nagyon jól felépített, és segít az anyag egyszerű megértésében.
15. Ez a digitális termék egy áldás azok számára, akik kiváló osztályzatot szeretnének kapni matematikából. Határozatok Ryabushko A.P. az IDZ 12.1 szerint – A 2. lehetőség segít jobban megérteni az anyagot.
16. IDZ 12.1 – 2. lehetőség A.P. Ryabushko megoldásaival - kiváló választás azoknak, akik szeretnék matematikai tudásukat fejleszteni és vizsgára készülni.
17. Döntések nélkül Ryabushko A.P. Sok problémát nem tudnék megoldani az IPD 12.1 - 2. opcióból. Köszönöm ezt a hasznos anyagot!

Sajátosságok:

Az IDZ 12.1 megoldásai – 2. lehetőség a Ryabushko A.P.-től. segített jobban megérteni az anyagot és felkészülni a vizsgára.

Nagyon kényelmes és érthető formátum az IPD 12.1 megoldásokhoz - 2. lehetőség, amely lehetővé teszi a szükséges információk gyors megtalálását.

Hálás vagyok a szerzőnek, Ryabushko A.P. az IDZ 12.1 - 2. opció minőségi megoldásaiért, amelyek segítettek a feladatok sikeres elvégzésében.

IDZ 12.1 - A 2. opciót a megoldások nagy pontossága és egyértelműsége jellemzi, ami megkönnyíti az anyag tanulmányozásának folyamatát.

Az IDZ 12.1 megoldásai – 2. lehetőség a Ryabushko A.P.-től. részletes magyarázatokat tartalmaznak, amelyek segítenek jobban megérteni a problémamegoldás elveit.

A Ryabushko A.P. IDZ 12.1 - 2. opcióját ajánlom. Bárki, aki ezen a területen szeretné fejleszteni tudását.

Az IDZ 12.1 segítségével – 2. lehetőség a Ryabushko A.P.-től. Sikeresen fel tudtam készülni a vizsgára, és magas osztályzatot kaptam.

Az IPD 12.1 – 2. lehetőség megoldásai kiváló minőségűek, és nélkülözhetetlenek az anyag tanulmányozásában.

Hálás vagyok a szerzőnek, Ryabushko A.P. az IPD 12.1 – 2. lehetőség érthető és hozzáférhető megoldásaihoz.

IDZ 12.1 – 2. lehetőség a Ryabushko A.P.-től. kiváló választás azoknak, akik szeretnék tudásukat gyarapítani ezen a területen.