IDZ 12.1 – Opção 2. Soluções Ryabushko A.P.

Tarefa nº 1. Prove a convergência da série e encontre sua soma.

Considere a série $\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n!}$. Para estudar sua convergência, utilizamos o teste de D'Alembert:

$$\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{2^{n+1}}{(n+1 )!} \cdot \frac{n!}{2^n} = \lim_{n\to\infty} \frac{2}{n+1} = 0.$$

Assim, a série converge. Para encontrar sua soma, usamos a fórmula do expoente:

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n!} = e^2.$$

Tarefa nº 2. Examine a série indicada com termos positivos para convergência.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{2^n}$

Para estudar a convergência desta série, utilizamos o teste de D'Alembert:

$$\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)!}{2^{n+ 1}} \cdot \frac{2^n}{n!} = \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{2} = \infty,$$

isto é, a série diverge.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n\ln^2 n}$

Para estudar a convergência desta série, utilizamos o critério integral:

$$\int_2^\infty \frac{dx}{x\ln^2 x} = \left[-\frac{1}{\ln x}\right]_2^\infty = \frac{1}{\ Em 2}

isto é, a série converge.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n\ln n}$

Para estudar a convergência desta série, utilizamos também o critério integral:

$$\int_2^\infty \frac{dx}{x\ln x} = \ln(\ln x)\bigg|_2^\infty = \infty,$$

isto é, a série diverge.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha}$, onde $0

Para estudar a convergência desta série, utilizamos o critério integral:

$$\int_1^\infty \frac{dx}{x^\alpha} = \begin{casos}\frac{1}{\alpha-1}, &\text{=\infty}\alpha > 1\\ infinito, & \text{s} \alpha \leq 1 \end{cases}$$

Assim, a série converge para $\alpha > 1$ e diverge para $\alpha \leq 1$.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(\ln n)^\alpha}$, onde $0

Para estudar a convergência desta série, utilizamos também o critério integral:

$$\int_2^\infty \frac{dx}{x(\ln x)^\alpha} = \begin{casos}\frac{1}{\alpha-1}\left(\frac{1}{( \ln 2)^{\alpha-1}} - \lim_{x\to\infty}\frac{1}{(\ln x)^{\alpha-1}}\right), &\text{если } \alpha > 1 \ \infty, & \text{texto } \alpha \leq 1 \end{cases}$$

Assim, a série converge para $\alpha > 1$ e diverge para $\alpha \leq 1$.

Tarefa nº 7. Examine séries alternadas para convergência e convergência absoluta.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}$

Para examinar a convergência desta série alternada, usamos o teste de Leibniz: a sequência $\left|\frac{1}{n}\right|$ diminui monotonicamente até zero. Além disso, para estudar a convergência absoluta, usaremos uma comparação com a série harmônica:

$$\sum_{n=1}^\infty \left|\frac{(-1)^n}{n}\right| = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$$

Esta série diverge porque é uma série harmônica. Assim, a série original de sinais alternados converge, mas não converge absolutamente.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^\alpha}$, onde $0

Para examinar a convergência desta série alternada, usamos o teste de Leibniz: a sequência $\left|\frac{1}{n^\alpha}\right|$ diminui monotonicamente até zero. Para estudar a convergência absoluta, usamos uma comparação com uma série harmônica:

$$\sum_{n=1}^\infty \left|\frac{(-1)^n}{n^\alpha}\right| = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha}$$

Esta série converge para $\alpha > 1$ e diverge para $\alpha \leq 1$. Assim, a série alternada original converge para $\alpha > 1$, e para $\alpha \leq 1$ diverge, mas converge absolutamente.

Este produto digital é uma solução para as tarefas da opção 2 do Trabalho de casa individual nº 12.1 sobre análise matemática, cujo autor é Ryabushko A.P. As soluções são apresentadas na forma de um documento eletrônico com um belo design html, o que as torna fáceis de ler e usar. Este produto é destinado a alunos e professores que tenham interesse em aprender cálculo e queiram testar seus conhecimentos na prática. Graças ao formato prático, as soluções podem ser utilizadas tanto para trabalhos independentes quanto como auxílio didático.

IDZ 12.1 – Opção 2. Soluções Ryabushko A.P. é um produto digital que contém soluções para problemas incluídos na segunda versão do Trabalho de casa individual nº 12.1 sobre análise matemática, escrito pelo autor Ryabushko A.P. As soluções são apresentadas na forma de um documento eletrônico com um belo design HTML, o que as torna fáceis de usar.

As soluções para esta opção contêm problemas de provar a convergência de uma série e encontrar a sua soma, estudando a convergência de várias séries com termos positivos e séries alternadas. Para cada problema, são fornecidas soluções detalhadas usando os recursos teóricos correspondentes.

Este produto pode ser útil para alunos e professores que estão estudando análise matemática e desejam testar seus conhecimentos na prática. As soluções podem ser utilizadas tanto para trabalho independente quanto como auxílio didático.

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IDZ 12.1 – Opção 2. Soluções Ryabushko A.P. é uma coleção de soluções prontas para trabalhos de casa de matemática para alunos do 12º ano. As soluções são apresentadas pelo autor - Ryabushko A.P. e abranger problemas sobre diversos temas como matrizes, sistemas de equações, derivadas e outros. A coleção contém soluções detalhadas de tarefas com descrições passo a passo, o que permite compreender melhor o material e aumentar seu nível de conhecimento. Esta coleção pode ser útil tanto para estudantes quanto para professores de matemática.

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