IDZ 12.1 – Opción 2. Soluciones Ryabushko A.P.

Tarea número 1. Demuestre la convergencia de la serie y encuentre su suma.

Considere la serie $\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n!}$. Para estudiar su convergencia utilizamos el test de D'Alembert:

$$\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{2^{n+1}}{(n+1 )!} \cdot \frac{n!}{2^n} = \lim_{n\to\infty} \frac{2}{n+1} = 0.$$

Por tanto, la serie converge. Para encontrar su suma, usamos la fórmula del exponente:

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n!} = e^2.$$

Tarea número 2. Examine la serie indicada con términos positivos para convergencia.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{2^n}$

Para estudiar la convergencia de esta serie utilizamos la prueba de D'Alembert:

$$\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)!}{2^{n+ 1}} \cdot \frac{2^n}{n!} = \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{2} = \infty,$$

es decir, la serie diverge.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n\ln^2 n}$

Para estudiar la convergencia de esta serie utilizamos el criterio integral:

$$\int_2^\infty \frac{dx}{x\ln^2 x} = \left[-\frac{1}{\ln x}\right]_2^\infty = \frac{1}{\ en 2}

es decir, la serie converge.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n\ln n}$

Para estudiar la convergencia de esta serie utilizamos también el criterio integral:

$$\int_2^\infty \frac{dx}{x\ln x} = \ln(\ln x)\bigg|_2^\infty = \infty,$$

es decir, la serie diverge.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha}$, donde $0

Para estudiar la convergencia de esta serie utilizamos el criterio integral:

$$\int_1^\infty \frac{dx}{x^\alpha} = \begin{cases}\frac{1}{\alpha-1}, &\text{=\infty}\alpha > 1\\ infinito, & \text{s} \alpha \leq 1 \end{cases}$$

Por lo tanto, la serie converge para $\alpha > 1$ y diverge para $\alpha \leq 1$.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(\ln n)^\alpha}$, donde $0

Para estudiar la convergencia de esta serie utilizamos también el criterio integral:

$$\int_2^\infty \frac{dx}{x(\ln x)^\alpha} = \begin{cases}\frac{1}{\alpha-1}\left(\frac{1}{( \ln 2)^{\alpha-1}} - \lim_{x\to\infty}\frac{1}{(\ln x)^{\alpha-1}}\right), &\text{если } \alpha > 1 \ \infty, & \text{text } \alpha \leq 1 \end{cases}$$

Por lo tanto, la serie converge para $\alpha > 1$ y diverge para $\alpha \leq 1$.

Tarea número 7. Examine las series alternas para determinar si hay convergencia y convergencia absoluta.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}$

Para examinar la convergencia de esta serie alterna, utilizamos la prueba de Leibniz: la secuencia $\left|\frac{1}{n}\right|$ disminuye monótonamente hasta cero. Además, para estudiar la convergencia absoluta utilizaremos una comparación con la serie armónica:

$$\sum_{n=1}^\infty \left|\frac{(-1)^n}{n}\right| = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$$

Esta serie diverge porque es una serie armónica. Por tanto, la serie original de alternancia de signos converge, pero no converge absolutamente.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^\alpha}$, donde $0

Para examinar la convergencia de esta serie alterna, utilizamos la prueba de Leibniz: la secuencia $\left|\frac{1}{n^\alpha}\right|$ disminuye monótonamente hasta cero. Para estudiar la convergencia absoluta utilizamos una comparación con una serie armónica:

$$\sum_{n=1}^\infty \left|\frac{(-1)^n}{n^\alpha}\right| = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha}$$

Esta serie converge para $\alpha > 1$ y diverge para $\alpha \leq 1$. Así, la serie alterna original converge para $\alpha > 1$, y para $\alpha \leq 1$ diverge, pero converge absolutamente.

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