IDZ 12.1 – Option 2. Lösungen Ryabushko A.P.

Aufgabe Nr. 1. Beweisen Sie die Konvergenz der Reihe und ermitteln Sie ihre Summe.

Betrachten Sie die Reihe $\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n!}$. Um seine Konvergenz zu untersuchen, verwenden wir den D'Alembert-Test:

$$\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{2^{n+1}}{(n+1 )!} \cdot \frac{n!}{2^n} = \lim_{n\to\infty} \frac{2}{n+1} = 0.$$

Somit konvergiert die Reihe. Um seine Summe zu ermitteln, verwenden wir die Formel für den Exponenten:

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n!} = e^2.$$

Aufgabe Nr. 2. Untersuchen Sie die angegebene Reihe mit positiven Termen auf Konvergenz.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{2^n}$

Um die Konvergenz dieser Reihe zu untersuchen, verwenden wir den D'Alembert-Test:

$$\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)!}{2^{n+ 1}} \cdot \frac{2^n}{n!} = \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{2} = \infty,$$

das heißt, die Reihe divergiert.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n\ln^2 n}$

Um die Konvergenz dieser Reihe zu untersuchen, verwenden wir das Integralkriterium:

$$\int_2^\infty \frac{dx}{x\ln^2 x} = \left[-\frac{1}{\ln x}\right]_2^\infty = \frac{1}{\ ln 2}

das heißt, die Reihe konvergiert.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n\ln n}$

Um die Konvergenz dieser Reihe zu untersuchen, verwenden wir auch den Integraltest:

$$\int_2^\infty \frac{dx}{x\ln x} = \ln(\ln x)\bigg|_2^\infty = \infty,$$

das heißt, die Reihe divergiert.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha}$, wobei $0

Um die Konvergenz dieser Reihe zu untersuchen, verwenden wir das Integralkriterium:

$$\int_1^\infty \frac{dx}{x^\alpha} = \begin{cases}\frac{1}{\alpha-1}, &\text{=\infty}\alpha > 1\\ infty, & \text{s} \alpha \leq 1 \end{cases}$$

Somit konvergiert die Reihe für $\alpha > 1$ und divergiert für $\alpha \leq 1$.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(\ln n)^\alpha}$, wobei $0

Um die Konvergenz dieser Reihe zu untersuchen, verwenden wir auch den Integraltest:

$$\int_2^\infty \frac{dx}{x(\ln x)^\alpha} = \begin{cases}\frac{1}{\alpha-1}\left(\frac{1}{( \ln 2)^{\alpha-1}} - \lim_{x\to\infty}\frac{1}{(\ln x)^{\alpha-1}}\right), &\text{если } \alpha > 1 \ \infty, & \text{text } \alpha \leq 1 \end{cases}$$

Somit konvergiert die Reihe für $\alpha > 1$ und divergiert für $\alpha \leq 1$.

Aufgabe Nr. 7. Untersuchen Sie alternierende Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}$

Um die Konvergenz dieser alternierenden Reihe zu untersuchen, verwenden wir den Leibniz-Test: Die Folge $\left|\frac{1}{n}\right|$ nimmt monoton auf Null ab. Um die absolute Konvergenz zu untersuchen, verwenden wir außerdem einen Vergleich mit der harmonischen Reihe:

$$\sum_{n=1}^\infty \left|\frac{(-1)^n}{n}\right| = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$$

Diese Reihe divergiert, weil es eine harmonische Reihe ist. Somit konvergiert die ursprüngliche Vorzeichenwechselreihe, konvergiert jedoch nicht absolut.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^\alpha}$, wobei $0

Um die Konvergenz dieser alternierenden Reihe zu untersuchen, verwenden wir den Leibniz-Test: Die Folge $\left|\frac{1}{n^\alpha}\right|$ nimmt monoton auf Null ab. Um die absolute Konvergenz zu untersuchen, verwenden wir einen Vergleich mit einer harmonischen Reihe:

$$\sum_{n=1}^\infty \left|\frac{(-1)^n}{n^\alpha}\right| = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha}$$

Diese Reihe konvergiert für $\alpha > 1$ und divergiert für $\alpha \leq 1$. Somit konvergiert die ursprüngliche alternierende Reihe für $\alpha > 1$ und für $\alpha \leq 1$ divergiert sie, konvergiert jedoch absolut.

Bei diesem digitalen Produkt handelt es sich um Lösungen für die Aufgaben der Option 2 der Einzelhausaufgabe Nr. 12.1 zur mathematischen Analyse, deren Autor Ryabushko A.P. ist. Die Lösungen werden in Form eines elektronischen Dokuments mit einem schönen HTML-Design präsentiert, wodurch sie einfach zu lesen und zu verwenden sind. Dieses Produkt richtet sich an Schüler und Lehrer, die sich für das Erlernen der Analysis interessieren und ihr Wissen in der Praxis testen möchten. Dank des praktischen Formats können die Lösungen sowohl zum selbstständigen Arbeiten als auch als Lehrmittel verwendet werden.

IDZ 12.1 – Option 2. Lösungen Ryabushko A.P. ist ein digitales Produkt, das Lösungen für Probleme enthält, die in der zweiten Version der Einzelhausaufgaben Nr. 12.1 zur mathematischen Analyse enthalten sind, geschrieben vom Autor Ryabushko A.P. Die Lösungen werden in Form eines elektronischen Dokuments mit einem schönen HTML-Design präsentiert, wodurch sie einfach zu verwenden sind.

Die Lösungen für diese Option umfassen Probleme zum Nachweis der Konvergenz einer Reihe und zur Ermittlung ihrer Summe sowie zur Untersuchung der Konvergenz verschiedener Reihen mit positiven Termen und alternierenden Reihen. Für jedes Problem werden detaillierte Lösungen anhand der entsprechenden theoretischen Merkmale angegeben.

Dieses Produkt kann für Schüler und Lehrer nützlich sein, die mathematische Analyse studieren und ihr Wissen in der Praxis testen möchten. Die Lösungen können sowohl zum selbstständigen Arbeiten als auch als Lehrmittel genutzt werden.

***

IDZ 12.1 – Option 2. Lösungen Ryabushko A.P. ist eine Sammlung vorgefertigter Lösungen für Hausaufgaben in Mathematik für Schüler der 12. Klasse. Die Lösungen werden vom Autor - Ryabushko A.P. - vorgestellt. und behandeln Probleme zu verschiedenen Themen wie Matrizen, Gleichungssystemen, Ableitungen und anderen. Die Sammlung enthält detaillierte Aufgabenlösungen mit Schritt-für-Schritt-Beschreibungen, die es Ihnen ermöglichen, den Stoff besser zu verstehen und Ihren Wissensstand zu erhöhen. Diese Sammlung kann sowohl für Schüler als auch für Mathematiklehrer nützlich sein.

***

1. Hervorragende Qualität der Problemlösungen!
2. Schnelle und bequeme Problemlösung dank digitalem Format.
3. Sehr nützliches Material zur Prüfungsvorbereitung.
4. Entscheidungen Ryabushko A.P. helfen Ihnen, den Stoff besser zu verstehen.
5. Praktisches Format für unabhängiges Arbeiten.
6. Ich empfehle es jedem, der die Prüfung erfolgreich bestehen möchte!
7. Gute Vorbereitung auf das IDZ und die Prüfung im Allgemeinen.
8. Eine große Anzahl von Aufgaben ermöglicht es Ihnen, alle Aspekte des Materials klar zu erkennen.
9. Ein sehr praktisches Format, das hilft, Probleme schnell und effizient zu lösen.
10. Studie von IDZ 12.1 – Option 2. Lösungen Ryabushko A.P. helfen, das Verständnis des Materials zu verbessern und die akademischen Leistungen zu verbessern.
11. Eine großartige Option für diejenigen, die sich auf eine Matheprüfung vorbereiten möchten. Entscheidungen Ryabushko A.P. hat mir geholfen, Themen besser zu verstehen und zu lernen, wie man Probleme löst.
12. Vielen Dank an den Autor für dieses nützliche Material! IDZ 12.1 – Option 2 hat mir bei der Vorbereitung auf die Mathe-Prüfung sehr geholfen.
13. Ich wusste nicht, wie ich mich auf die Mathematikprüfung vorbereiten sollte, aber dank IDZ 12.1 – Option 2 und den Lösungen von Ryabushko A.P. Ich kann es mit Zuversicht bestehen.
14. Entscheidungen Ryabushko A.P. für IDZ 12.1 – Option 2 sind sehr gut strukturiert und helfen Ihnen, den Stoff leicht zu verstehen.
15. Dieses digitale Produkt ist ein Geschenk des Himmels für alle, die eine hervorragende Note in Mathematik erreichen möchten. Entscheidungen Ryabushko A.P. gemäß IDZ 12.1 – Option 2 hilft mir, den Stoff besser zu verstehen.
16. IDZ 12.1 – Option 2 mit Lösungen von A.P. Ryabushko - eine ausgezeichnete Wahl für diejenigen, die ihre Mathematikkenntnisse verbessern und sich auf die Prüfung vorbereiten möchten.
17. Ohne Entscheidungen Ryabushko A.P. Mit IPD 12.1 - Option 2 wäre ich nicht in der Lage, viele Probleme zu lösen. Vielen Dank für dieses nützliche Material!

Besonderheiten:

Lösungen von IDZ 12.1 – Option 2 von Ryabushko A.P. hat mir geholfen, den Stoff besser zu verstehen und mich auf die Prüfung vorzubereiten.

Ein sehr praktisches und verständliches Format für IPD 12.1-Lösungen – Option 2, mit dem Sie schnell die benötigten Informationen finden können.

Ich bin dem Autor Ryabushko A.P. dankbar. für die Qualitätslösungen des IDZ 12.1 - Option 2, die mir geholfen haben, die Aufgaben erfolgreich zu erledigen.

IDZ 12.1 – Option 2 zeichnet sich durch hohe Genauigkeit und Klarheit der Lösungen aus, was das Studium des Materials erleichtert.

Lösungen von IDZ 12.1 – Option 2 von Ryabushko A.P. enthalten detaillierte Erläuterungen, die helfen, die Prinzipien der Problemlösung besser zu verstehen.

Ich empfehle IDZ 12.1 – Option 2 von Ryabushko A.P. Jeder, der sein Wissen in diesem Bereich verbessern möchte.

Mit Hilfe von IDZ 12.1 – Option 2 von Ryabushko A.P. Ich konnte mich erfolgreich auf die Prüfung vorbereiten und eine gute Note bekommen.

Lösungen von IPD 12.1 - Option 2 sind von hoher Qualität und ein unverzichtbarer Helfer beim Studium des Materials.

Ich bin dem Autor Ryabushko A.P. dankbar. für verständliche und zugängliche Lösungen von IPD 12.1 - Option 2.

IDZ 12.1 – Option 2 von Ryabushko A.P. ist eine ausgezeichnete Wahl für diejenigen, die ihr Wissen in diesem Bereich erweitern möchten.