IDZ 12.1 – Mulighed 2. Løsninger Ryabushko A.P.

Opgave nr. 1. Bevis seriens konvergens og find dens sum.

Overvej serien $\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n!}$. For at studere dens konvergens bruger vi D'Alemberts test:

$$\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{2^{n+1}}{(n+1 )!} \cdot \frac{n!}{2^n} = \lim_{n\to\infty} \frac{2}{n+1} = 0,$$

Således konvergerer serien. For at finde dens sum bruger vi formlen for eksponenten:

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n!} = e^2.$$

Opgave nr. 2. Undersøg den angivne serie med positive udtryk for konvergens.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{2^n}$

For at studere konvergensen af ​​denne serie bruger vi D'Alemberts test:

$$\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)!}{2^{n+ 1}} \cdot \frac{2^n}{n!} = \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{2} = \infty,$$

det vil sige, at serien divergerer.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n\ln^2 n}$

For at studere konvergensen af ​​denne serie bruger vi integralkriteriet:

$$\int_2^\infty \frac{dx}{x\ln^2 x} = \venstre[-\frac{1}{\ln x}\right]_2^\infty = \frac{1}{\ ln 2}

det vil sige, at serien konvergerer.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n\ln n}$

For at studere konvergensen af ​​denne serie bruger vi også integraltesten:

$$\int_2^\infty \frac{dx}{x\ln x} = \ln(\ln x)\bigg|_2^\infty = \infty,$$

det vil sige, at serien divergerer.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha}$, hvor $0

For at studere konvergensen af ​​denne serie bruger vi integralkriteriet:

$$\int_1^\infty \frac{dx}{x^\alpha} = \begin{cases}\frac{1}{\alpha-1}, &\text{=\infty}\alpha > 1\\ infty, & \text{s} \alpha \leq 1 \end{cases}$$

Således konvergerer rækken for $\alpha > 1$ og divergerer for $\alpha \leq 1$.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(\ln n)^\alpha}$, hvor $0

For at studere konvergensen af ​​denne serie bruger vi også integraltesten:

$$\int_2^\infty \frac{dx}{x(\ln x)^\alpha} = \begin{cases}\frac{1}{\alpha-1}\left(\frac{1}{( \ln 2)^{\alpha-1}} - \lim_{x\to\infty}\frac{1}{(\ln x)^{\alpha-1}}\right), &\text{если } \alpha > 1 \ \infty, & \text{tekst } \alpha \leq 1 \end{cases}$$

Således konvergerer rækken for $\alpha > 1$ og divergerer for $\alpha \leq 1$.

Opgave nr. 7. Undersøg skiftende serier for konvergens og absolut konvergens.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}$

For at undersøge konvergensen af ​​denne vekslende serie bruger vi Leibniz's test: sekvensen $\left|\frac{1}{n}\right|$ aftager monotont til nul. For at studere absolut konvergens vil vi også bruge en sammenligning med den harmoniske serie:

$$\sum_{n=1}^\infty \left|\frac{(-1)^n}{n}\right| = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$$

Denne serie divergerer, fordi det er en harmonisk serie. Således konvergerer den oprindelige alternerende serie, men konvergerer ikke absolut.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^\alpha}$, hvor $0

For at undersøge konvergensen af ​​denne alternerende serie bruger vi Leibniz's test: sekvensen $\left|\frac{1}{n^\alpha}\right|$ aftager monotont til nul. For at studere absolut konvergens bruger vi en sammenligning med en harmonisk række:

$$\sum_{n=1}^\infty \left|\frac{(-1)^n}{n^\alpha}\right| = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha}$$

Denne serie konvergerer for $\alpha > 1$ og divergerer for $\alpha \leq 1$. Således konvergerer den oprindelige alternerende serie for $\alpha > 1$, og for $\alpha \leq 1$ divergerer den, men konvergerer absolut.

Dette digitale produkt er løsninger på opgaverne i mulighed 2 i Individuel hjemmeopgave nr. 12.1 om matematisk analyse, hvis forfatter er Ryabushko A.P. Løsningerne præsenteres i form af et elektronisk dokument med et smukt html-design, som gør dem nemme at læse og bruge. Dette produkt er beregnet til studerende og lærere, der er interesserede i at lære calculus og ønsker at teste deres viden i praksis. Takket være det bekvemme format kan løsningerne både bruges til selvstændigt arbejde og som undervisningshjælp.

IDZ 12.1 – Mulighed 2. Løsninger Ryabushko A.P. er et digitalt produkt, der indeholder løsninger på problemer inkluderet i anden version af Individuel hjemmeopgave nr. 12.1 om matematisk analyse, skrevet af forfatteren Ryabushko A.P. Løsningerne præsenteres i form af et elektronisk dokument med et smukt HTML-design, som gør dem nemme at bruge.

Løsningerne på denne mulighed indeholder problemer med at bevise konvergensen af ​​en serie og finde dens sum, studere konvergensen af ​​forskellige serier med positive led og skiftende serier. For hvert problem er der givet detaljerede løsninger ved hjælp af de tilsvarende teoretiske funktioner.

Dette produkt kan være nyttigt for studerende og lærere, der studerer matematisk analyse og ønsker at teste deres viden i praksis. Løsningerne kan både bruges til selvstændigt arbejde og som undervisningshjælp.

***

IDZ 12.1 – Mulighed 2. Løsninger Ryabushko A.P. er en samling færdige løsninger til hjemmeopgaver i matematik for 12. klasses elever. Løsningerne præsenteres af forfatteren - Ryabushko A.P. og dække problemer om forskellige emner såsom matricer, ligningssystemer, derivater og andre. Samlingen indeholder detaljerede løsninger på opgaver med trin-for-trin beskrivelser, som giver dig mulighed for bedre at forstå materialet og øge dit vidensniveau. Denne samling kan være nyttig for både elever og matematiklærere.

***

1. Fremragende kvalitet af problemløsninger!
2. Hurtig og bekvem problemløsning takket være det digitale format.
3. Meget nyttigt materiale til forberedelse til eksamen.
4. Afgørelser Ryabushko A.P. hjælpe dig med at forstå materialet bedre.
5. Praktisk format til selvstændigt arbejde.
6. Jeg anbefaler det til alle, der ønsker at bestå eksamen med succes!
7. God forberedelse til IDZ og eksamen generelt.
8. Et stort antal opgaver giver dig mulighed for tydeligt at se alle aspekter af materialet.
9. Et meget praktisk format, der hjælper med at løse problemer hurtigt og effektivt.
10. Undersøgelse af IDZ 12.1 – Mulighed 2. Løsninger Ryabushko A.P. hjælpe med at forbedre forståelsen af ​​materialet og forbedre den akademiske præstation.
11. En god mulighed for dem, der ønsker at forberede sig til en matematikeksamen. Afgørelser Ryabushko A.P. hjalp mig bedre med at forstå emner og lære at løse problemer.
12. Tak til forfatteren for så nyttigt materiale! IDZ 12.1 – Mulighed 2 hjalp mig meget med at forberede mig til matematikeksamenen.
13. Jeg vidste ikke, hvordan jeg skulle forberede mig til matematikeksamenen, men takket være IDZ 12.1 – Mulighed 2 og løsningerne fra Ryabushko A.P. Jeg kan bestå det med tillid.
14. Afgørelser Ryabushko A.P. til IDZ 12.1 - Mulighed 2 er meget velstrukturerede og hjælper dig med let at forstå materialet.
15. Dette digitale produkt er en gave til dem, der ønsker at få en fremragende karakter i matematik. Afgørelser Ryabushko A.P. ifølge IDZ 12.1 - Mulighed 2 hjælper mig med bedre at forstå materialet.
16. IDZ 12.1 – Mulighed 2 med løsninger af A.P. Ryabushko - et fremragende valg for dem, der ønsker at forbedre deres viden i matematik og forberede sig til eksamen.
17. Uden beslutninger Ryabushko A.P. Jeg ville ikke være i stand til at løse mange problemer fra IPD 12.1 - Mulighed 2. Tak for så nyttigt materiale!

Ejendommeligheder:

Løsninger af IDZ 12.1 - Mulighed 2 fra Ryabushko A.P. hjalp mig til bedre at forstå materialet og forberede mig til eksamen.

Et meget praktisk og forståeligt format til IPD 12.1-løsninger - Mulighed 2, som giver dig mulighed for hurtigt at finde den information, du har brug for.

Jeg er taknemmelig for forfatteren Ryabushko A.P. for kvalitetsløsningerne i IDZ 12.1 - Mulighed 2, som hjalp mig med at fuldføre opgaverne.

IDZ 12.1 - Mulighed 2 er kendetegnet ved høj nøjagtighed og klarhed af løsninger, hvilket letter processen med at studere materialet.

Løsninger af IDZ 12.1 - Mulighed 2 fra Ryabushko A.P. indeholde detaljerede forklaringer, der hjælper til bedre at forstå principperne for løsning af problemer.

Jeg anbefaler IDZ 12.1 - Mulighed 2 fra Ryabushko A.P. Alle, der ønsker at forbedre deres viden på dette område.

Ved hjælp af IDZ 12.1 - Mulighed 2 fra Ryabushko A.P. Jeg var i stand til at forberede mig til eksamen og få en høj karakter.

Løsninger af IPD 12.1 - Mulighed 2 er af høj kvalitet og er en uundværlig assistent i studiet af materialet.

Jeg er taknemmelig for forfatteren Ryabushko A.P. for forståelige og tilgængelige løsninger af IPD 12.1 - Mulighed 2.

IDZ 12.1 - Mulighed 2 fra Ryabushko A.P. er et fremragende valg for dem, der ønsker at berige deres viden på dette område.