IDZ 12.1 – Επιλογή 2. Λύσεις Ryabushko A.P.

Εργασία Νο. 1. Να αποδείξετε τη σύγκλιση της σειράς και να βρείτε το άθροισμά της.

Εξετάστε τη σειρά $\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n!}$. Για να μελετήσουμε τη σύγκλιση, χρησιμοποιούμε το τεστ του D'Alembert:

$$\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{2^{n+1}}{(n+1 )!} \cdot \frac{n!}{2^n} = \lim_{n\to\infty} \frac{2}{n+1} = 0,$$

Έτσι, η σειρά συγκλίνει. Για να βρούμε το άθροισμά του, χρησιμοποιούμε τον τύπο για τον εκθέτη:

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n!} = e^2.$$

Εργασία Νο. 2. Εξετάστε τις υποδεικνυόμενες σειρές με θετικούς όρους για σύγκλιση.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{2^n}$

Για να μελετήσουμε τη σύγκλιση αυτής της σειράς, χρησιμοποιούμε το τεστ του D'Alembert:

$$\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)!}{2^{n+ 1}} \cdot \frac{2^n}{n!} = \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{2} = \infty,$$

δηλαδή η σειρά αποκλίνει.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n\ln^2 n}$

Για να μελετήσουμε τη σύγκλιση αυτής της σειράς, χρησιμοποιούμε το κριτήριο του ολοκληρωμένου:

$$\int_2^\infty \frac{dx}{x\ln^2 x} = \left[-\frac{1}{\ln x}\right]_2^\infty = \frac{1}{\ στο 2}

δηλαδή η σειρά συγκλίνει.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n\ln n}$

Για να μελετήσουμε τη σύγκλιση αυτής της σειράς, χρησιμοποιούμε επίσης το ολοκληρωμένο τεστ:

$$\int_2^\infty \frac{dx}{x\ln x} = \ln(\ln x)\bigg|_2^\infty = \infty,$$

δηλαδή η σειρά αποκλίνει.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha}$, όπου $0

Για να μελετήσουμε τη σύγκλιση αυτής της σειράς, χρησιμοποιούμε το κριτήριο του ολοκληρωμένου:

$$\int_1^\infty \frac{dx}{x^\alpha} = \begin{cases}\frac{1}{\alpha-1}, &\text{=\infty}\alpha > 1\\ infty, & \text{s} \alpha \leq 1 \end{cases}$$

Έτσι, η σειρά συγκλίνει για $\alpha > 1$ και αποκλίνει για $\alpha \leq 1$.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(\ln n)^\alpha}$, όπου $0

Για να μελετήσουμε τη σύγκλιση αυτής της σειράς, χρησιμοποιούμε επίσης το ολοκληρωμένο τεστ:

$$\int_2^\infty \frac{dx}{x(\ln x)^\alpha} = \begin{cases}\frac{1}{\alpha-1}\left(\frac{1}{( \ln 2)^{\alpha-1}} - \lim_{x\to\infty}\frac{1}{(\ln x)^{\alpha-1}}\right), &\text{если } \alpha > 1 \ \infty, & \text{text } \alpha \leq 1 \end{cases}$$

Έτσι, η σειρά συγκλίνει για $\alpha > 1$ και αποκλίνει για $\alpha \leq 1$.

Εργασία Νο. 7. Εξετάστε εναλλασσόμενες σειρές για σύγκλιση και απόλυτη σύγκλιση.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}$

Για να εξετάσουμε τη σύγκλιση αυτής της εναλλασσόμενης σειράς, χρησιμοποιούμε το κριτήριο του Leibniz: η ακολουθία $\left|\frac{1}{n}\right|$ μονότονα μειώνεται στο μηδέν. Επίσης, για να μελετήσουμε την απόλυτη σύγκλιση, θα χρησιμοποιήσουμε μια σύγκριση με την αρμονική σειρά:

$$\sum_{n=1}^\infty \left|\frac{(-1)^n}{n}\right| = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$$

Αυτή η σειρά αποκλίνει επειδή είναι μια αρμονική σειρά. Έτσι, η αρχική εναλλασσόμενη σειρά συγκλίνει, αλλά δεν συγκλίνει απόλυτα.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^\alpha}$, όπου $0

Για να εξετάσουμε τη σύγκλιση αυτής της εναλλασσόμενης σειράς, χρησιμοποιούμε τη δοκιμή του Leibniz: η ακολουθία $\left|\frac{1}{n^\alpha}\right|$ μειώνεται μονοτονικά στο μηδέν. Για να μελετήσουμε την απόλυτη σύγκλιση, χρησιμοποιούμε μια σύγκριση με μια αρμονική σειρά:

$$\sum_{n=1}^\infty \left|\frac{(-1)^n}{n^\alpha}\right| = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha}$$

Αυτή η σειρά συγκλίνει για $\alpha > 1$ και αποκλίνει για $\alpha \leq 1$. Έτσι, η αρχική εναλλασσόμενη σειρά συγκλίνει για $\alpha > 1$, και για $\alpha \leq 1$ αποκλίνει, αλλά συγκλίνει απολύτως.

Αυτό το ψηφιακό προϊόν είναι λύσεις στις εργασίες της επιλογής 2 της Ατομικής εργασίας Νο. 12.1 για τη μαθηματική ανάλυση, συγγραφέας της οποίας είναι ο Ryabushko A.P. Οι λύσεις παρουσιάζονται με τη μορφή ηλεκτρονικού εγγράφου με όμορφο σχεδιασμό html, που τις καθιστά εύκολες στην ανάγνωση και χρήση. Αυτό το προϊόν προορίζεται για μαθητές και καθηγητές που ενδιαφέρονται να μάθουν λογισμό και θέλουν να δοκιμάσουν τις γνώσεις τους στην πράξη. Χάρη στη βολική μορφή, οι λύσεις μπορούν να χρησιμοποιηθούν τόσο για ανεξάρτητη εργασία όσο και ως εκπαιδευτικό βοήθημα.

IDZ 12.1 – Επιλογή 2. Λύσεις Ryabushko A.P. είναι ένα ψηφιακό προϊόν που περιέχει λύσεις σε προβλήματα που περιλαμβάνονται στη δεύτερη έκδοση του Individual homework No. 12.1 για τη μαθηματική ανάλυση, γραμμένο από τον συγγραφέα Ryabushko A.P. Οι λύσεις παρουσιάζονται με τη μορφή ηλεκτρονικού εγγράφου με όμορφο σχεδιασμό HTML, που τις καθιστά εύχρηστες.

Οι λύσεις αυτής της επιλογής περιέχουν προβλήματα απόδειξης της σύγκλισης μιας σειράς και εύρεσης του αθροίσματος της, μελέτης της σύγκλισης διαφόρων σειρών με θετικούς όρους και εναλλασσόμενων σειρών. Για κάθε πρόβλημα δίνονται αναλυτικές λύσεις χρησιμοποιώντας τα αντίστοιχα θεωρητικά χαρακτηριστικά.

Αυτό το προϊόν μπορεί να είναι χρήσιμο για μαθητές και καθηγητές που σπουδάζουν μαθηματική ανάλυση και θέλουν να δοκιμάσουν τις γνώσεις τους στην πράξη. Οι λύσεις μπορούν να χρησιμοποιηθούν τόσο για ανεξάρτητη εργασία όσο και ως εκπαιδευτικό βοήθημα.

***

IDZ 12.1 – Επιλογή 2. Λύσεις Ryabushko A.P. είναι μια συλλογή από έτοιμες λύσεις για εργασίες για το σπίτι στα μαθηματικά για μαθητές της 12ης τάξης. Οι λύσεις παρουσιάζονται από τον συγγραφέα - Ryabushko A.P. και καλύπτουν προβλήματα σε διάφορα θέματα όπως πίνακες, συστήματα εξισώσεων, παράγωγα και άλλα. Η συλλογή περιέχει λεπτομερείς λύσεις σε εργασίες με περιγραφές βήμα προς βήμα, που σας επιτρέπει να κατανοήσετε καλύτερα το υλικό και να αυξήσετε το επίπεδο γνώσεών σας. Αυτή η συλλογή μπορεί να είναι χρήσιμη τόσο για μαθητές όσο και για καθηγητές μαθηματικών.

***

1. Άριστη ποιότητα λύσεων προβλημάτων!
2. Γρήγορη και εύκολη επίλυση προβλημάτων χάρη στην ψηφιακή μορφή.
3. Πολύ χρήσιμο υλικό για την προετοιμασία για τις εξετάσεις.
4. Αποφάσεις Ryabushko A.P. σας βοηθούν να κατανοήσετε καλύτερα το υλικό.
5. Βολική μορφή για ανεξάρτητη εργασία.
6. Το προτείνω σε όποιον θέλει να περάσει με επιτυχία τις εξετάσεις!
7. Καλή προετοιμασία για το IDZ και τις εξετάσεις γενικότερα.
8. Ένας μεγάλος αριθμός εργασιών σάς επιτρέπει να βλέπετε καθαρά όλες τις πτυχές του υλικού.
9. Μια πολύ βολική μορφή που βοηθά στην γρήγορη και αποτελεσματική επίλυση προβλημάτων.
10. Μελέτη IDZ 12.1 – Επιλογή 2. Λύσεις Ryabushko A.P. συμβάλλουν στη βελτίωση της κατανόησης του υλικού και στη βελτίωση της ακαδημαϊκής επίδοσης.
11. Μια εξαιρετική επιλογή για όσους θέλουν να προετοιμαστούν για μια εξέταση μαθηματικών. Αποφάσεις Ryabushko A.P. με βοήθησε να κατανοήσω καλύτερα τα θέματα και να μάθω πώς να λύνω προβλήματα.
12. Ευχαριστώ τον συγγραφέα για το τόσο χρήσιμο υλικό! IDZ 12.1 – Η επιλογή 2 με βοήθησε πολύ στην προετοιμασία για τις εξετάσεις στα μαθηματικά.
13. Δεν ήξερα πώς να προετοιμαστώ για τις εξετάσεις μαθηματικών, αλλά χάρη στο IDZ 12.1 – Option 2 και τις λύσεις του Ryabushko A.P. Μπορώ να το περάσω με σιγουριά.
14. Αποφάσεις Ryabushko A.P. σύμφωνα με το IDZ 12.1 - Option 2 είναι πολύ καλά δομημένα και σας βοηθούν να κατανοήσετε εύκολα το υλικό.
15. Αυτό το ψηφιακό προϊόν είναι ένα θεϊκό δώρο για όσους θέλουν να πάρουν έναν εξαιρετικό βαθμό στα μαθηματικά. Αποφάσεις Ryabushko A.P. σύμφωνα με το IDZ 12.1 – Επιλογή 2, βοηθήστε με να κατανοήσω καλύτερα το υλικό.
16. IDZ 12.1 – Επιλογή 2 με λύσεις από τον A.P. Ryabushko - μια εξαιρετική επιλογή για όσους θέλουν να βελτιώσουν τις γνώσεις τους στα μαθηματικά και να προετοιμαστούν για τις εξετάσεις.
17. Χωρίς αποφάσεις Ryabushko A.P. Δεν θα μπορούσα να λύσω πολλά προβλήματα από το IPD 12.1 - Επιλογή 2. Σας ευχαριστώ για το τόσο χρήσιμο υλικό!

Ιδιαιτερότητες:

Λύσεις IDZ 12.1 - Επιλογή 2 από την Ryabushko A.P. με βοήθησε να κατανοήσω καλύτερα την ύλη και να προετοιμαστώ για τις εξετάσεις.

Μια πολύ βολική και κατανοητή μορφή για λύσεις IPD 12.1 - Επιλογή 2, η οποία σας επιτρέπει να βρίσκετε γρήγορα τις πληροφορίες που χρειάζεστε.

Είμαι ευγνώμων στον συγγραφέα Ryabushko A.P. για τις ποιοτικές λύσεις του IDZ 12.1 - Option 2, που με βοήθησε να ολοκληρώσω με επιτυχία τις εργασίες.

Το IDZ 12.1 - Επιλογή 2 χαρακτηρίζεται από υψηλή ακρίβεια και σαφήνεια των λύσεων, γεγονός που διευκολύνει τη διαδικασία μελέτης του υλικού.

Λύσεις IDZ 12.1 - Επιλογή 2 από την Ryabushko A.P. περιέχουν λεπτομερείς εξηγήσεις που βοηθούν στην καλύτερη κατανόηση των αρχών επίλυσης προβλημάτων.

Συνιστώ το IDZ 12.1 - Επιλογή 2 από την Ryabushko A.P. Όποιος θέλει να βελτιώσει τις γνώσεις του σε αυτόν τον τομέα.

Με τη βοήθεια του IDZ 12.1 - Επιλογή 2 από την Ryabushko A.P. Μπόρεσα να προετοιμαστώ με επιτυχία για τις εξετάσεις και να πάρω υψηλό βαθμό.

Οι λύσεις της IPD 12.1 - Επιλογή 2 είναι υψηλής ποιότητας και αποτελούν απαραίτητο βοηθό στη μελέτη του υλικού.

Είμαι ευγνώμων στον συγγραφέα Ryabushko A.P. για κατανοητές και προσβάσιμες λύσεις του IPD 12.1 - Επιλογή 2.

IDZ 12.1 - Επιλογή 2 από την Ryabushko A.P. είναι μια εξαιρετική επιλογή για όσους θέλουν να εμπλουτίσουν τις γνώσεις τους σε αυτόν τον τομέα.