IDZ 12.1 – Možnost 2. Řešení Ryabushko A.P.

Úkol č. 1. Dokažte konvergenci řady a najděte její součet.

Uvažujme řadu $\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n!}$. Ke studiu jeho konvergence používáme D'Alembertův test:

$$\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{2^{n+1}}{(n+1 )!} \cdot \frac{n!}{2^n} = \lim_{n\to\infty} \frac{2}{n+1} = 0,$$

Řada tedy konverguje. Abychom zjistili jeho součet, použijeme vzorec pro exponent:

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n!} = e^2,$$

Úkol č. 2. Prozkoumejte indikovanou řadu s kladnými členy pro konvergenci.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{2^n}$

Ke studiu konvergence této řady používáme D’Alembertův test:

$$\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)!}{2^{n+ 1}} \cdot \frac{2^n}{n!} = \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{2} = \infty,$$

to znamená, že série se rozchází.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n\ln^2 n}$

Ke studiu konvergence této řady používáme integrální kritérium:

$$\int_2^\infty \frac{dx}{x\ln^2 x} = \left[-\frac{1}{\ln x}\right]_2^\infty = \frac{1}{\ v 2}

to znamená, že řada konverguje.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n\ln n}$

Ke studiu konvergence této řady také používáme integrální test:

$$\int_2^\infty \frac{dx}{x\ln x} = \ln(\ln x)\bigg|_2^\infty = \infty,$$

to znamená, že série se rozchází.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha}$, kde $0

Ke studiu konvergence této řady používáme integrální kritérium:

$$\int_1^\infty \frac{dx}{x^\alpha} = \begin{cases}\frac{1}{\alpha-1}, &\text{=\infty}\alpha > 1\\ infty, & \text{s} \alpha \leq 1 \end{cases}$$

Řada tedy konverguje pro $\alpha > 1$ a diverguje pro $\alpha \leq 1$.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(\ln n)^\alpha}$, kde $0

Ke studiu konvergence této řady také používáme integrální test:

$$\int_2^\infty \frac{dx}{x(\ln x)^\alpha} = \begin{cases}\frac{1}{\alpha-1}\left(\frac{1}{( \ln 2)^{\alpha-1}} - \lim_{x\to\infty}\frac{1}{(\ln x)^{\alpha-1}}\right), & \text{если } \alpha > 1 \ \infty, & \text{text } \alpha \leq 1 \end{cases}$$

Řada tedy konverguje pro $\alpha > 1$ a diverguje pro $\alpha \leq 1$.

Úkol č. 7. Prozkoumejte střídavé řady na konvergenci a absolutní konvergenci.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}$

Ke zkoumání konvergence této střídavé řady použijeme Leibnizovo kritérium: posloupnost $\left|\frac{1}{n}\right|$ monotónně klesá k nule. Také pro studium absolutní konvergence použijeme srovnání s harmonickou řadou:

$$\sum_{n=1}^\infty \left|\frac{(-1)^n}{n}\right| = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$$

Tato řada se rozchází, protože se jedná o harmonickou řadu. Původní střídavé řady tedy konvergují, ale nekonvergují absolutně.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^\alpha}$, kde $0

Ke zkoumání konvergence této střídavé řady použijeme Leibnizův test: posloupnost $\left|\frac{1}{n^\alpha}\right|$ monotónně klesá k nule. Ke studiu absolutní konvergence používáme srovnání s harmonickou řadou:

$$\sum_{n=1}^\infty \left|\frac{(-1)^n}{n^\alpha}\right| = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha}$$

Tato řada konverguje pro $\alpha > 1$ a diverguje pro $\alpha \leq 1$. Původní střídavá řada tedy konverguje pro $\alpha > 1$ a pro $\alpha \leq 1$ diverguje, ale konverguje absolutně.

Tento digitální produkt je řešením úloh varianty 2 Samostatného domácího úkolu č. 12.1 z matematické analýzy, jehož autorem je Ryabushko A.P. Řešení jsou prezentována ve formě elektronického dokumentu s krásným html designem, díky kterému jsou snadno čitelná a používaná. Tento produkt je určen pro studenty a učitele, kteří se zajímají o výuku kalkulu a chtějí si své znalosti ověřit v praxi. Díky pohodlnému formátu lze řešení využít jak pro samostatnou práci, tak i jako učební pomůcku.

IDZ 12.1 – Možnost 2. Řešení Ryabushko A.P. je digitální produkt, který obsahuje řešení problémů obsažených ve druhé verzi Individuálního domácího úkolu č. 12.1 o matematické analýze, jehož autorem je Ryabushko A.P. Řešení jsou prezentována ve formě elektronického dokumentu s krásným HTML designem, který usnadňuje jejich použití.

Řešení této možnosti obsahuje problémy dokazování konvergence řady a hledání jejího součtu, studium konvergence různých řad s kladnými členy a střídavými řadami. Pro každý problém jsou uvedena podrobná řešení s použitím odpovídajících teoretických vlastností.

Tento produkt může být užitečný pro studenty a učitele, kteří studují matematickou analýzu a chtějí si své znalosti ověřit v praxi. Řešení lze využít jak pro samostatnou práci, tak i jako učební pomůcku.

***

IDZ 12.1 – Možnost 2. Řešení Ryabushko A.P. je sbírka hotových řešení domácích úkolů z matematiky pro žáky 12. ročníku. Řešení uvádí autor - Ryabushko A.P. a pokrývají problémy na různá témata, jako jsou matice, soustavy rovnic, derivace a další. Sbírka obsahuje podrobná řešení úkolů s popisem krok za krokem, což vám umožní lépe porozumět látce a zvýšit úroveň znalostí. Tato sbírka může být užitečná jak pro studenty, tak pro učitele matematiky.

***

1. Vynikající kvalita řešení problémů!
2. Rychlé a pohodlné řešení problémů díky digitálnímu formátu.
3. Velmi užitečný materiál pro přípravu na zkoušku.
4. Rozhodnutí Ryabushko A.P. pomůže lépe porozumět látce.
5. Vhodný formát pro samostatnou práci.
6. Doporučuji každému, kdo chce úspěšně složit zkoušku!
7. Dobrá příprava na IDZ a zkoušku obecně.
8. Velké množství úkolů umožňuje jasně vidět všechny aspekty materiálu.
9. Velmi pohodlný formát, který pomáhá řešit problémy rychle a efektivně.
10. Studie IDZ 12.1 – varianta 2. Řešení Ryabushko A.P. pomoci zlepšit porozumění materiálu a zlepšit akademický výkon.
11. Skvělá volba pro ty, kteří se chtějí připravit na zkoušku z matematiky. Rozhodnutí Ryabushko A.P. pomohl mi lépe porozumět tématům a naučit se řešit problémy.
12. Děkuji autorovi za tak užitečný materiál! IDZ 12.1 – Možnost 2 mi velmi pomohla v přípravě na zkoušku z matematiky.
13. Nevěděl jsem, jak se připravit na zkoušku z matematiky, ale díky IDZ 12.1 – Možnost 2 a řešením Ryabushko A.P. Mohu to s důvěrou předat.
14. Rozhodnutí Ryabushko A.P. podle IDZ 12.1 - Varianta 2 jsou velmi dobře strukturované a pomohou vám snadno porozumět materiálu.
15. Tento digitální produkt je dar z nebes pro ty, kteří chtějí získat vynikající známku z matematiky. Rozhodnutí Ryabushko A.P. podle IDZ 12.1 – Možnost 2 mi pomůže lépe porozumět materiálu.
16. IDZ 12.1 – Možnost 2 s řešeními od A.P. Ryabushko - výborná volba pro ty, kteří si chtějí zlepšit své znalosti v matematice a připravit se na zkoušku.
17. Bez rozhodnutí Ryabushko A.P. Nebyl bych schopen vyřešit mnoho problémů z IPD 12.1 - Možnost 2. Děkuji za tak užitečný materiál!

Zvláštnosti:

Řešení IDZ 12.1 - Možnost 2 od Ryabushko A.P. pomohl mi lépe porozumět látce a připravit se na zkoušku.

Velmi pohodlný a srozumitelný formát pro řešení IPD 12.1 - Možnost 2, který vám umožní rychle najít informace, které potřebujete.

Jsem vděčný autorovi Ryabushko A.P. za kvalitní řešení IDZ 12.1 - Varianta 2, která mi pomohla úspěšně splnit úkoly.

IDZ 12.1 - Varianta 2 se vyznačuje vysokou přesností a přehledností řešení, což usnadňuje proces studia materiálu.

Řešení IDZ 12.1 - Možnost 2 od Ryabushko A.P. obsahovat podrobná vysvětlení, která pomáhají lépe pochopit principy řešení problémů.

Doporučuji IDZ 12.1 - Option 2 od Ryabushko A.P. Každý, kdo chce zlepšit své znalosti v této oblasti.

S pomocí IDZ 12.1 - Možnost 2 od Ryabushko A.P. Podařilo se mi úspěšně připravit na zkoušku a získat vysokou známku.

Řešení IPD 12.1 - Varianta 2 jsou vysoce kvalitní a jsou nepostradatelným pomocníkem při studiu materiálu.

Jsem vděčný autorovi Ryabushko A.P. za srozumitelná a dostupná řešení IPD 12.1 - Varianta 2.

IDZ 12.1 - Možnost 2 od Ryabushko A.P. je výbornou volbou pro ty, kteří si chtějí obohatit své znalosti v této oblasti.