ИДЗ 12.1 – Вариант 2. Решения Рябушко А.П.

Задача №1. Доказать сходимость ряда и найти его сумму.

Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n!}$. Для исследования его сходимости воспользуемся признаком Даламбера:

$$\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{2^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{2^n} = \lim_{n\to\infty} \frac{2}{n+1} = 0.$$

Таким образом, ряд сходится. Для нахождения его суммы воспользуемся формулой для экспоненты:

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n!} = e^2.$$

Задача №2. Исследовать на сходимость указанные ряды с положительными членами.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{2^n}$

Для исследования сходимости этого ряда воспользуемся признаком Даламбера:

$$\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)!}{2^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{n!} = \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{2} = \infty,$$

то есть ряд расходится.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n\ln^2 n}$

Для исследования сходимости этого ряда воспользуемся интегральным признаком:

$$\int_2^\infty \frac{dx}{x\ln^2 x} = \left[-\frac{1}{\ln x}\right]_2^\infty = \frac{1}{\ln 2}

то есть ряд сходится.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n\ln n}$

Для исследования сходимости этого ряда также воспользуемся интегральным признаком:

$$\int_2^\infty \frac{dx}{x\ln x} = \ln(\ln x)\bigg|_2^\infty = \infty,$$

то есть ряд расходится.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha}$, где $0

Для исследования сходимости этого ряда воспользуемся интегральным признаком:

$$\int_1^\infty \frac{dx}{x^\alpha} = \begin{cases} \frac{1}{\alpha-1}, & \text{если } \alpha > 1 \ \infty, & \text{если } \alpha \leq 1 \end{cases}$$

Таким образом, ряд сходится при $\alpha > 1$ и расходится при $\alpha \leq 1$.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(\ln n)^\alpha}$, где $0

Для исследования сходимости этого ряда также воспользуемся интегральным признаком:

$$\int_2^\infty \frac{dx}{x(\ln x)^\alpha} = \begin{cases} \frac{1}{\alpha-1}\left(\frac{1}{(\ln 2)^{\alpha-1}} - \lim_{x\to\infty} \frac{1}{(\ln x)^{\alpha-1}}\right), & \text{если } \alpha > 1 \ \infty, & \text{если } \alpha \leq 1 \end{cases}$$

Таким образом, ряд сходится при $\alpha > 1$ и расходится при $\alpha \leq 1$.

Задача №7. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующиеся ряды.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}$

Для исследования на сходимость этого знакочередующегося ряда воспользуемся признаком Лейбница: последовательность $\left|\frac{1}{n}\right|$ монотонно убывает к нулю. Также для исследования на абсолютную сходимость воспользуемся сравнением с гармоническим рядом:

$$\sum_{n=1}^\infty \left|\frac{(-1)^n}{n}\right| = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$$

Этот ряд расходится, так как является гармоническим рядом. Таким образом, исходный знакочередующийся ряд сходится, но не сходится абсолютно.

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^\alpha}$, где $0

Для исследования на сходимость этого знакочередующегося ряда воспользуемся признаком Лейбница: последовательность $\left|\frac{1}{n^\alpha}\right|$ монотонно убывает к нулю. Для исследования на абсолютную сходимость воспользуемся сравнением с гармоническим рядом:

$$\sum_{n=1}^\infty \left|\frac{(-1)^n}{n^\alpha}\right| = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha}$$

Этот ряд сходится при $\alpha > 1$ и расходится при $\alpha \leq 1$. Таким образом, исходный знакочередующийся ряд сходится при $\alpha > 1$, а при $\alpha \leq 1$ он расходится, но сходится абсолютно.

Этот цифровой товар - решения к заданиям варианта 2 Индивидуального домашнего задания №12.1 по математическому анализу, автором которых является Рябушко А.П. Решения представлены в виде электронного документа с красивым html оформлением, что делает их удобными для чтения и использования. Этот товар предназначен для студентов и преподавателей, которые заинтересованы в изучении математического анализа и хотят проверить свои знания на практике. Благодаря удобному формату, решения могут быть использованы как для самостоятельной работы, так и в качестве учебного пособия.

ИДЗ 12.1 – Вариант 2. Решения Рябушко А.П. - это цифровой товар, который содержит решения задач, входящих во второй вариант Индивидуального домашнего задания №12.1 по математическому анализу, написанные автором Рябушко А.П. Решения представлены в виде электронного документа с красивым html оформлением, что делает их удобными для использования.

В решениях данного варианта содержатся задачи на доказательство сходимости ряда и нахождение его суммы, исследование на сходимость различных рядов с положительными членами и знакочередующихся рядов. Для каждой задачи приведены подробные решения с использованием соответствующих теоретических признаков.

Этот товар может быть полезен для студентов и преподавателей, которые занимаются изучением математического анализа и хотят проверить свои знания на практике. Решения могут быть использованы как для самостоятельной работы, так и в качестве учебного пособия.

***

ИДЗ 12.1 – Вариант 2. Решения Рябушко А.П. - это сборник готовых решений заданий для выполнения домашних заданий по математике для учащихся 12 класса. Решения представлены автором - Рябушко А.П. и охватывают задания по различным темам, таким как матрицы, системы уравнений, производные и другие. В сборнике представлены подробные решения заданий с пошаговым описанием, что позволяет лучше понять материал и повысить свой уровень знаний. Этот сборник может быть полезен как учащимся, так и преподавателям математики.

***

1. Отличное качество решений заданий!
2. Быстрое и удобное решение задач благодаря цифровому формату.
3. Очень полезный материал для подготовки к экзамену.
4. Решения Рябушко А.П. помогают лучше понять материал.
5. Удобный формат для самостоятельной работы.
6. Рекомендую всем, кто желает успешно сдать экзамен!
7. Хорошая подготовка к ИДЗ и экзамену в целом.
8. Большое количество задач позволяет наглядно увидеть все аспекты материала.
9. Очень удобный формат, который помогает быстро и эффективно решать задачи.
10. Изучение ИДЗ 12.1 – Вариант 2. Решения Рябушко А.П. помогают улучшить понимание материала и повысить успеваемость.
11. Отличный вариант для тех, кто хочет подготовиться к экзамену по математике. Решения Рябушко А.П. помогли мне лучше понять темы и научиться решать задачи.
12. Спасибо автору за такой полезный материал! ИДЗ 12.1 – Вариант 2 очень помог мне в подготовке к экзамену по математике.
13. Я не знал, как подготовиться к экзамену по математике, но благодаря ИДЗ 12.1 – Вариант 2 и решениям Рябушко А.П. я могу с уверенностью сдать его.
14. Решения Рябушко А.П. по ИДЗ 12.1 – Варианту 2 очень хорошо структурированы и помогают легко разобраться в материале.
15. Этот цифровой товар - находка для тех, кто хочет получить отличную оценку по математике. Решения Рябушко А.П. по ИДЗ 12.1 – Варианту 2 помогают мне лучше понимать материал.
16. ИДЗ 12.1 – Вариант 2 с решениями Рябушко А.П. - отличный выбор для тех, кто хочет улучшить свои знания по математике и подготовиться к экзамену.
17. Без решений Рябушко А.П. я бы не смог решить многие задачи из ИДЗ 12.1 – Варианта 2. Спасибо за такой полезный материал!

Особенности:

Решения ИДЗ 12.1 – Вариант 2 от Рябушко А.П. помогли мне лучше понять материал и подготовиться к экзамену.

Очень удобный и понятный формат решений ИДЗ 12.1 – Вариант 2, который позволяет быстро находить нужную информацию.

Я благодарна автору Рябушко А.П. за качественные решения ИДЗ 12.1 – Вариант 2, которые помогли мне успешно выполнить задания.

ИДЗ 12.1 – Вариант 2 отличается высокой точностью и четкостью решений, что облегчает процесс изучения материала.

Решения ИДЗ 12.1 – Вариант 2 от Рябушко А.П. содержат подробные пояснения, которые помогают лучше понять принципы решения задач.

Я рекомендую ИДЗ 12.1 – Вариант 2 от Рябушко А.П. всем, кто хочет улучшить свои знания в данной области.

С помощью ИДЗ 12.1 – Вариант 2 от Рябушко А.П. я смогла успешно подготовиться к экзамену и получить высокую оценку.

Решения ИДЗ 12.1 – Вариант 2 отличаются высоким качеством и являются незаменимым помощником в изучении материала.

Я благодарна автору Рябушко А.П. за понятные и доступные решения ИДЗ 12.1 – Вариант 2.

ИДЗ 12.1 – Вариант 2 от Рябушко А.П. – отличный выбор для тех, кто хочет обогатить свои знания в данной области.