IDZ 12.1 – オプション 2. ソリューション Ryabushko A.P.

タスクその1。級数の収束を証明し、その和を求めます。

$\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n!}$ という系列を考えてみましょう。その収束を調べるために、ダランベールのテストを使用します。

$$\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{2^{n+1}}{(n+1) )!} \cdot \frac{n!}{2^n} = \lim_{n\to\infty} \frac{2}{n+1} = 0.$$

したがって、級数は収束します。合計を求めるには、次の指数の公式を使用します。

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n!} = e^2.$$

タスクその2。収束するための正の項を使用して、示された系列を調べます。

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{2^n}$

この級数の収束を調べるために、ダランベールの検定を使用します。

$$\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)!}{2^{n+ 1}} \cdot \frac{2^n}{n!} = \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{2} = \infty,$$

つまり、系列が分岐します。

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n\ln^2 n}$

この級数の収束を調べるために、積分基準を使用します。

$$\int_2^\infty \frac{dx}{x\ln^2 x} = \left[-\frac{1}{\ln x}\right]_2^\infty = \frac{1}{\イン2}

つまり、級数は収束します。

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n\ln n}$

この級数の収束を調べるために、積分テストも使用します。

$$\int_2^\infty \frac{dx}{x\ln x} = \ln(\ln x)\bigg|_2^\infty = \infty,$$

つまり、系列が分岐します。

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha}$、ここで $0

この級数の収束を調べるために、積分基準を使用します。

$$\int_1^\infty \frac{dx}{x^\alpha} = \begin{cases}\frac{1}{\alpha-1}, &\text{ex}\alpha > 1\\infty, & \text{s} \alpha \leq 1 \end{cases}$$

したがって、級数は $\alpha > 1$ の場合は収束し、$\alpha \leq 1$ の場合は発散します。

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(\ln n)^\alpha}$、ここで $0

この級数の収束を調べるために、積分テストも使用します。

$$\int_2^\infty \frac{dx}{x(\ln x)^\alpha} = \begin{cases}\frac{1}{\alpha-1}\left(\frac{1}{( \ln 2)^{\alpha-1}} - \lim_{x\to\infty}\frac{1}{(\ln x)^{\alpha-1}}\right), & \text{если } \alpha > 1 \ \infty, & \text{text } \alpha \leq 1 \end{cases}$$

したがって、級数は $\alpha > 1$ の場合は収束し、$\alpha \leq 1$ の場合は発散します。

タスクNo.7。交互系列の収束と絶対収束を調べます。

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}$

この交互系列の収束を調べるために、ライプニッツの検定を使用します。つまり、数列 $\left|\frac{1}{n}\right|$ は 0 まで単調減少します。また、絶対収束を調べるために、調和系列との比較を使用します。

$$\sum_{n=1}^\infty \left|\frac{(-1)^n}{n}\right| = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$$

この系列は調和系列であるため発散します。したがって、元の符号交互系列は収束しますが、完全には収束しません。

1. $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^\alpha}$、ここで $0

この交互系列の収束を調べるために、ライプニッツの検定を使用します。つまり、数列 $\left|\frac{1}{n^\alpha}\right|$ は 0 まで単調減少します。絶対収束を調べるために、調和系列との比較を使用します。

$$\sum_{n=1}^\infty \left|\frac{(-1)^n}{n^\alpha}\right| = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha}$$

この級数は、$\alpha > 1$ の場合は収束し、$\alpha \leq 1$ の場合は発散します。したがって、元の交互系列は $\alpha > 1$ の場合は収束し、$\alpha \leq 1$ の場合は発散しますが、絶対的に収束します。

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