Opción 2 IDZ 3.1

№1.2

Dados cuatro puntos A1(3;–1;2); A2(–1;0;1); A3(1;7;3); A4(8;5;8).

a) Creemos una ecuación para el avión A1A2A3:

Vector que se encuentra en el avión A1A2A3:

A1A2 = (-1 - 3; 0 + 1; 1 - 2) = (-4; 1; -1)

A1A3 = (1 - 3; 7 + 1; 3 - 2) = (-2; 8; 1)

Vector normal del avión A1A2A3:

norte = [A1A2, A1A3] = (-1 - 3; 3 - 2; 0 - 8) = (-4; 1; -8)

Ecuación plana:

-4x + y - 8z + d = 0

para encontrar d, sustituye las coordenadas del punto A1:

-4 * 3 + (-1) * (-1) - 8 * 2 + d = 0

re = 26

Ecuación del plano A1A2A3:

-4x + y - 8z + 26 = 0

b) Creemos una ecuación para la recta A1A2:

Vector de dirección de la recta A1A2:

A1A2 = (-4; 1; -1)

Ecuación de una recta:

x = 3 - 4t, y = -1 + t, z = 2 - t, t ∈ R

c) Creemos una ecuación para la recta A4M perpendicular al plano A1A2A3:

Vector normal del avión A1A2A3:

norte = (-4; 1; -8)

Vector direccional A4M:

А4M = (x - 8; y - 5; z - 8)

Condición de perpendicularidad:

norte * A4M = 0

-4(x - 8) + 1(y - 5) - 8(z - 8) = 0

Ecuación de la línea A4M:

x = 8 + 2t, y = 5 - t, z = 8 + 0,5t, t ∈ R

d) Creemos una ecuación para la recta A3N paralela a la recta A1A2:

Vector de dirección de la recta A1A2:

A1A2 = (-4; 1; -1)

Ecuación de la línea A3N:

x = 1 + (-4)t, y = 7 + t, z = 3 - t, t ∈ R

e) Creemos una ecuación para un plano que pasa por el punto A4 y es perpendicular a la recta A1A2:

Vector de dirección de la recta A1A2:

A1A2 = (-4; 1; -1)

Vector plano normal:

norte = (-4; 1; -1)

Ecuación plana:

-4x + y - z + d = 0

para encontrar d, sustituye las coordenadas del punto A4:

-4 * 8 + 5 - 8 + re = 0

re = 27

Ecuación plana:

-4x + y - z + 27 = 0

f) Encuentre el seno del ángulo entre la recta A1A4 y el plano A1A2A3:

Vector de dirección recta A1A4:

A1A4 = (5; 6; 6)

Vector normal del avión A1A2A3:

norte = (-4; 1; -8)

El seno del ángulo entre los vectores:

pecado θ = |[А1А4, n]| / |А1А4| * |norte|

pecado θ = |(48; 38; 29)| / √(5^2 + 6^2 + 6^2) * √(16 + 1 + 64)

pecado θ = 115 / √24545

g) Encontremos el coseno del ángulo entre el plano coordenado Oxy y el plano A1A2A3:

Vector normal del plano de coordenadas Oxy:

norte = (0; 0; 1)

Vector normal del avión A1A2A3:

norte = (-4; 1; -8)

El coseno del ángulo entre los vectores:

porque θ = |n1 * n2| / |n1| * |n2|

porque θ = |-8| / √(16 + 1 + 64) * √1

porque θ = -8 / √81

№2.2

Creemos una ecuación para un plano que pasa por el centro del segmento M1M2 perpendicular a este segmento si M1(1;5;6); M2(–1;7;10).

Vector de dirección del segmento M1M2:

M1M2 = (-2; 2; 4)

Coordenadas de la mitad del segmento M1M2:

Mm = ((1 + (-1)) / 2; (5 + 7) / 2; (6 + 10) / 2) = (0; 6; 8)

Vector normal del plano deseado:

norte = M1M2 = (-2; 2; 4)

Ecuación plana:

-2x + 2y + 4z + d = 0

para encontrar d, sustituye las coordenadas del punto Mm:

-2 * 0 + 2 * 6 + 4 * 8 + d = 0

re = -44

Ecuación plana:

-2x + 2y + 4z - 44 = 0

№3.2

Demuestre que la recta ...... es paralela al plano 2x + y – z = 0; y la recta.....se encuentra en este plano.

Es necesario complementar el planteamiento del problema con información sobre las líneas para que se pueda dar la respuesta a la pregunta planteada. Por favor especifique la condición.

Descripción del producto - Variante 2 IDZ 3.1

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Este producto digital puede resultar útil tanto para estudiantes que estudian en universidades como para escolares que se están preparando para ingresar a universidades o realizar Olimpiadas de matemáticas.

El producto digital está disponible en formato pdf y se puede descargar directamente después del pago. En caso de problemas con la descarga o la visualización, los clientes pueden comunicarse con el equipo de soporte, que siempre está listo para ayudar.

Al adquirir este producto digital, no solo recibirás material útil para estudiar matemáticas, sino que también ahorrarás tiempo en la resolución de problemas por tu cuenta, lo cual es especialmente importante durante exámenes y sesiones.

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Les presento una descripción del producto:

IDZ 3.1 es una tarea matemática que consta de tres números.

La primera cuestión da las coordenadas de cuatro puntos en el espacio. Es necesario escribir ecuaciones para un plano que pasa por tres de estos puntos, una recta que pasa por dos de estos puntos y un plano que pasa por uno de estos puntos y es perpendicular a la recta. También necesitas encontrar el seno y el coseno de los ángulos entre una línea y un plano determinados.

En la segunda cuestión, es necesario crear una ecuación del plano que pasa por el medio del segmento, perpendicular a este segmento, cuyas coordenadas también se dan.

En la tercera cuestión es necesario demostrar que una línea es paralela a un plano dado y la otra se encuentra en este plano. Para ello es necesario utilizar conocimientos sobre el paralelismo de una recta y un plano, así como el hecho de que un punto pertenece a un plano si sus coordenadas satisfacen la ecuación de este plano.

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