Wie oft ist die Degenerationstemperatur für Beryllium?

Aufgabe 60175: Berechnung des Verhältnisses der Entartungstemperaturen für Beryllium und Lithium bei gegebenen Werten der Fermi-Energie.

Hoffentlich:

• Fermi-Energie für Beryllium EF=10,8 eV;
• Fermi-Energie für Lithium EF=6,2*10^-19 J.

Es ist erforderlich, das Verhältnis der Entartungstemperaturen für Beryllium und Lithium zu ermitteln.

Um das Problem zu lösen, verwenden wir die Formel für die Degenerationstemperatur:

kT_D = (3/4πn)^(1/3) * χ * (6π^2)^(2/3)

Dabei ist k die Boltzmann-Konstante, T_D die Entartungstemperatur, n die Elektronenkonzentration, ħ die Planck-Konstante und π die Pi-Zahl.

Die Elektronenkonzentration kann mit der Formel ermittelt werden:

n = N/V = Zρ/m

Dabei ist N die Anzahl der Atome, V das Volumen, Z die Anzahl der Elektronen pro Atom, ρ die Dichte und m die Masse des Atoms.

Für Beryllium Z=4, ρ=1,85 g/cm^3, m=9,01*10^-28 g.

Für Lithium Z=1, ρ=0,53 g/cm^3, m=6,94*10^-23 g.

Wenn wir die Werte in die Formeln einsetzen, erhalten wir:

Für Beryllium: n = 4 * 1,85 * 10^22 / (9,01 * 10^-28) = 8,28 * 10^28 m^-3 kT_D(Be) = (3/4π * 8,28 * 10^28)^(1 /3) * 1,054 * 10^-34 * (6π^2)^(2/3) = 3,48 * 10^4 K

Für Lithium: n = 1 * 0,53 * 10^22 / (6,94 * 10^-23) = 7,64 * 10^28 m^-3 kT_D(Li) = (3/4π * 7,64 * 10^28)^(1 /3) * 1,054 * 10^-34 * (6π^2)^(2/3) = 1,55 * 10^4 K

Entartungstemperaturverhältnis für Beryllium und Lithium: T_D(Be) / T_D(Li) = 3,48 * 10^4 / 1,55 * 10^4 ≈ 2,25

Somit ist die Entartungstemperatur für Beryllium etwa 2,25-mal höher als die Entartungstemperatur für Lithium.

Produktbeschreibung

Produktname: „Berechnung der Degenerationstemperatur für Beryllium und Lithium.“

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Beschreibung des Problems: Es ist erforderlich, das Verhältnis der Entartungstemperaturen für Beryllium und Lithium bei gegebenen Werten der Fermi-Energie zu berechnen.

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Die Entartungstemperatur ist die Temperatur, bei der Elektronen in einem Metall alle verfügbaren Energieniveaus bis zum Fermi-Niveau ausfüllen.

Für Beryllium beträgt die Fermi-Energie EF = 10,8 eV oder EF = 6,2*10^-19 J bei T = 0 K. Für Lithium wird die Fermi-Energie nicht angegeben.

Die Formel zur Berechnung der Degenerationstemperatur lautet:

T = (EF / k) * (3 * π^2 * n)^(2/3)

Dabei ist k die Boltzmann-Konstante und n die Elektronenkonzentration.

Für Beryllium kann die Elektronenkonzentration mithilfe der Elektronendichte der Zustände auf dem Fermi-Niveau geschätzt werden: g(EF) = 3 * N / (2 * EF), wobei N die Anzahl der Atome pro Volumeneinheit ist. Der ungefähre N-Wert für Beryllium beträgt 4,4*10^22 Atome/cm^3.

Anhand der angegebenen Werte der Fermi-Energie und Elektronenkonzentration für Beryllium kann die Entartungstemperatur berechnet werden. Wenn wir die Werte in die Formel einsetzen, erhalten wir:

T(Be) = (10,8 eV / k) * (3 * π^2 * 4,4*10^22 cm^-3)^(2/3) ≈ 145400 K

T(Be) = (6.210^-19 J/k) * (3 * π^2 * 4,410^22 cm^-3)^(2/3) ≈ 16800 K

Somit ist die Degenerationstemperatur für Beryllium etwa zehnmal höher als für Lithium.

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