Quantas vezes é a temperatura de degeneração do berílio

Problema 60175: cálculo da razão das temperaturas de degenerescência do berílio e do lítio em determinados valores da energia de Fermi.

Esperançosamente:

• Energia de Fermi para berílio EF = 10,8 eV;
• Energia Fermi para lítio EF = 6,2 * 10 ^ -19 J.

É necessário encontrar a proporção das temperaturas de degeneração do berílio e do lítio.

Para resolver o problema, usamos a fórmula da temperatura de degeneração:

kT_D = (3/4πn)^(1/3) * χ * (6π^2)^(2/3)

onde k é a constante de Boltzmann, T_D é a temperatura de degeneração, n é a concentração de elétrons, ħ é a constante de Planck, π é o número Pi.

A concentração de elétrons pode ser encontrada usando a fórmula:

n = N/V = Zρ/m

onde N é o número de átomos, V é o volume, Z é o número de elétrons por átomo, ρ é a densidade, m é a massa do átomo.

Para berílio Z=4, ρ=1,85 g/cm^3, m=9,01*10^-28 g.

Para lítio Z=1, ρ=0,53 g/cm^3, m=6,94*10^-23 g.

Substituindo os valores nas fórmulas, obtemos:

Para berílio: n = 4 * 1,85 * 10 ^ 22 / (9,01 * 10 ^ -28) = 8,28 * 10 ^ 28 m ^ -3 kT_D (Be) = (3/4π * 8,28 * 10 ^ 28) ^ (1 /3) * 1,054 * 10^-34 * (6π^2)^(2/3) = 3,48 * 10^4 K

Para lítio: n = 1 * 0,53 * 10 ^ 22 / (6,94 * 10 ^ -23) = 7,64 * 10 ^ 28 m ^ -3 kT_D (Li) = (3/4π * 7,64 * 10 ^ 28) ^ (1 /3) * 1,054 * 10^-34 * (6π^2)^(2/3) = 1,55 * 10^4 K

Razão de temperaturas de degenerescência para berílio e lítio: T_D(Be) / T_D(Li) = 3,48 * 10^4 / 1,55 * 10^4 ≈ 2,25

Assim, a temperatura de degeneração do berílio é aproximadamente 2,25 vezes maior que a temperatura de degeneração do lítio.

Descrição do produto

Nome do produto: "Cálculo da temperatura de degeneração para berílio e lítio."

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Descrição do problema: é necessário calcular a razão entre as temperaturas de degenerescência do berílio e do lítio em determinados valores da energia de Fermi.

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A temperatura de degeneração é a temperatura na qual os elétrons em um metal preenchem todos os níveis de energia disponíveis até o nível de Fermi.

Para o berílio, a energia de Fermi é EF = 10,8 eV ou EF = 6,2*10^-19 J em T = 0 K. Para o lítio, a energia de Fermi não é indicada.

A fórmula para calcular a temperatura de degeneração é:

T = (EF/k) * (3 * π^2 * n)^(2/3)

onde k é a constante de Boltzmann, n é a concentração de elétrons.

Para o berílio, a concentração de elétrons pode ser estimada usando a densidade eletrônica dos estados no nível de Fermi g(EF) = 3 * N / (2 * EF), onde N é o número de átomos por unidade de volume. O valor aproximado de N para berílio é 4,4*10^22 átomos/cm^3.

Usando os valores fornecidos da energia de Fermi e da concentração de elétrons para o berílio, a temperatura de degenerescência pode ser calculada. Substituindo os valores na fórmula, obtemos:

T(Be) = (10,8 eV / k) * (3 * π^2 * 4,4*10^22 cm^-3)^(2/3) ≈ 145400 K

T(Ser) = (6,210^-19 J/k) * (3 * π^2 * 4,410 ^ 22 cm ^ -3) ^ (2/3) ≈ 16.800 K

Assim, a temperatura de degeneração do berílio é aproximadamente 10 vezes maior que a do lítio.

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