Quante volte è la temperatura di degenerazione del berillio

Problema 60175: calcolo del rapporto delle temperature di degenerazione per berillio e litio a dati valori dell'energia di Fermi.

Fiduciosamente:

• Energia di Fermi per il berillio EF=10,8 eV;
• Energia di Fermi per il litio EF=6,2*10^-19 J.

È necessario trovare il rapporto tra le temperature di degenerazione del berillio e del litio.

Per risolvere il problema utilizziamo la formula per la temperatura di degenerazione:

kT_D = (3/4πn)^(1/3) * χ * (6π^2)^(2/3)

dove k è la costante di Boltzmann, T_D è la temperatura di degenerazione, n è la concentrazione di elettroni, ħ è la costante di Planck, π è il numero Pi.

La concentrazione degli elettroni può essere trovata utilizzando la formula:

n = N/V = Zρ/m

dove N è il numero di atomi, V è il volume, Z è il numero di elettroni per atomo, ρ è la densità, m è la massa dell'atomo.

Per il berillio Z=4, ρ=1,85 g/cm^3, m=9,01*10^-28 g.

Per il litio Z=1, ρ=0,53 g/cm^3, m=6,94*10^-23 g.

Sostituendo i valori nelle formule, otteniamo:

Per il berillio: n = 4 * 1,85 * 10^22 / (9,01 * 10^-28) = 8,28 * 10^28 m^-3 kT_D(Be) = (3/4π * 8,28 * 10^28)^(1 /3) * 1,054 * 10^-34 * (6π^2)^(2/3) = 3,48 * 10^4 K

Per il litio: n = 1 * 0,53 * 10^22 / (6,94 * 10^-23) = 7,64 * 10^28 m^-3 kT_D(Li) = (3/4π * 7,64 * 10^28)^(1 /3) * 1,054 * 10^-34 * (6π^2)^(2/3) = 1,55 * 10^4 K

Rapporto della temperatura di degenerazione per berillio e litio: T_D(Be) / T_D(Li) = 3,48 * 10^4 / 1,55 * 10^4 ≈ 2,25

Pertanto, la temperatura di degenerazione del berillio è circa 2,25 volte superiore alla temperatura di degenerazione del litio.

Descrizione del prodotto

Nome del prodotto: "Calcolo della temperatura di degenerazione per berillio e litio".

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La temperatura di degenerazione è la temperatura alla quale gli elettroni in un metallo riempiono tutti i livelli energetici disponibili fino al livello di Fermi.

Per il berillio, l'energia di Fermi è EF = 10,8 eV o EF = 6,2*10^-19 J a T = 0 K. Per il litio, l'energia di Fermi non è indicata.

La formula per calcolare la temperatura di degenerazione è:

T = (EF / k) * (3 * π^2 * n)^(2/3)

dove k è la costante di Boltzmann, n è la concentrazione di elettroni.

Per il berillio, la concentrazione di elettroni può essere stimata utilizzando la densità elettronica degli stati al livello di Fermi g(EF) = 3 * N / (2 * EF), dove N è il numero di atomi per unità di volume. Il valore approssimativo di N per il berillio è 4,4*10^22 atomi/cm^3.

Utilizzando le energie di Fermi e le concentrazioni di elettroni fornite per il berillio, è possibile calcolare la temperatura di degenerazione. Sostituendo i valori nella formula, otteniamo:

T(Be) = (10,8 eV / k) * (3 * π^2 * 4,4*10^22 cm^-3)^(2/3) ≈ 145400 K

T(Be) = (6.210^-19 J/k) * (3 * π^2 * 4.410^22 cm^-3)^(2/3) ≈ 16800 K

Pertanto, la temperatura di degenerazione del berillio è circa 10 volte superiore a quella del litio.

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