Option 2 IDZ 3.1

№1.2

Gegeben sind vier Punkte A1(3;–1;2); A2(–1;0;1); A3(1;7;3); A4(8;5;8).

a) Erstellen wir eine Gleichung für die Ebene A1A2A3:

Vektor liegt auf der Ebene A1A2A3:

A1A2 = (-1 - 3; 0 + 1; 1 - 2) = (-4; 1; -1)

A1A3 = (1 - 3; 7 + 1; 3 - 2) = (-2; 8; 1)

Normalenvektor der Ebene A1A2A3:

n = [A1A2, A1A3] = (-1 - 3; 3 - 2; 0 - 8) = (-4; 1; -8)

Ebenengleichung:

-4x + y - 8z + d = 0

Um d zu finden, ersetzen Sie die Koordinaten von Punkt A1:

-4 * 3 + (-1) * (-1) - 8 * 2 + d = 0

d = 26

Gleichung der Ebene A1A2A3:

-4x + y - 8z + 26 = 0

b) Erstellen wir eine Gleichung für die Gerade A1A2:

Richtungsvektor der Geraden A1A2:

A1A2 = (-4; 1; -1)

Gleichung einer Geraden:

x = 3 - 4t, y = -1 + t, z = 2 - t, t ∈ R

c) Erstellen wir eine Gleichung für die Gerade A4M senkrecht zur Ebene A1A2A3:

Normalenvektor der Ebene A1A2A3:

n = (-4; 1; -8)

Richtungsvektor A4M:

À4M = (x - 8; y - 5; z - 8)

Rechtwinkligkeitsbedingung:

n * A4M = 0

-4(x - 8) + 1(y - 5) - 8(z - 8) = 0

Gleichung der Linie A4M:

x = 8 + 2t, y = 5 - t, z = 8 + 0,5t, t ∈ R

d) Erstellen wir eine Gleichung für die Gerade A3N parallel zur Geraden A1A2:

Richtungsvektor der Geraden A1A2:

A1A2 = (-4; 1; -1)

Gleichung der Linie A3N:

x = 1 + (-4)t, y = 7 + t, z = 3 - t, t ∈ R

e) Erstellen wir eine Gleichung für eine Ebene, die durch den Punkt A4 verläuft und senkrecht zur Geraden A1A2 steht:

Richtungsvektor der Geraden A1A2:

A1A2 = (-4; 1; -1)

Normaler Ebenenvektor:

n = (-4; 1; -1)

Ebenengleichung:

-4x + y - z + d = 0

Um d zu finden, ersetzen Sie die Koordinaten von Punkt A4:

-4 * 8 + 5 - 8 + d = 0

d = 27

Ebenengleichung:

-4x + y - z + 27 = 0

f) Finden Sie den Sinus des Winkels zwischen der Geraden A1A4 und der Ebene A1A2A3:

Richtungsvektor Gerade A1A4:

A1A4 = (5; 6; 6)

Normalenvektor der Ebene A1A2A3:

n = (-4; 1; -8)

Der Sinus des Winkels zwischen den Vektoren:

sin θ = |[À1À4, n]| / |À1À4| * |n|

Sünde θ = |(48; 38; 29)| / √(5^2 + 6^2 + 6^2) * √(16 + 1 + 64)

Sünde θ = 115 / √24545

g) Ermitteln wir den Kosinus des Winkels zwischen der Koordinatenebene Oxy und der Ebene A1A2A3:

Normalenvektor der Oxy-Koordinatenebene:

n = (0; 0; 1)

Normalenvektor der Ebene A1A2A3:

n = (-4; 1; -8)

Der Kosinus des Winkels zwischen den Vektoren:

cos θ = |n1 * n2| / |n1| * |n2|

cos θ = |-8| / √(16 + 1 + 64) * √1

cos θ = -8 / √81

№2.2

Erstellen wir eine Gleichung für eine Ebene, die durch die Mitte des Segments M1M2 senkrecht zu diesem Segment verläuft, wenn M1(1;5;6); M2(–1;7;10).

Richtungsvektor des Segments M1M2:

M1M2 = (-2; 2; 4)

Koordinaten der Mitte des Segments M1M2:

Mm = ((1 + (-1)) / 2; (5 + 7) / 2; (6 + 10) / 2) = (0; 6; 8)

Normalenvektor der gewünschten Ebene:

n = M1M2 = (-2; 2; 4)

Ebenengleichung:

-2x + 2y + 4z + d = 0

Um d zu finden, ersetzen Sie die Koordinaten des Punktes Mm:

-2 * 0 + 2 * 6 + 4 * 8 + d = 0

d = -44

Ebenengleichung:

-2x + 2y + 4z - 44 = 0

№3.2

Beweisen Sie, dass die Gerade ...... parallel zur Ebene 2x + y – z = 0 ist; und die Gerade ..... liegt in dieser Ebene.

Es ist notwendig, die Problemstellung durch Angaben zu den Zeilen zu ergänzen, damit die gestellte Frage beantwortet werden kann. Bitte geben Sie den Zustand an.

Produktbeschreibung - Variante 2 IDZ 3.1

Dieses digitale Produkt ist ein Lehrmittel für Studierende im Mathematikstudium. Es enthält detaillierte Lösungen für Probleme in verschiedenen Bereichen der Mathematik, darunter Algebra, Geometrie, Wahrscheinlichkeitstheorie und mathematische Statistik.

Das Lehrbuch enthält mehr als 100 Aufgaben, von denen jede detaillierte Lösungen und Erklärungen enthält, die den Schülern helfen, den Stoff besser zu verstehen und ihre Leistungen zu verbessern.

Dieses digitale Produkt kann sowohl für Studierende an Universitäten als auch für Schüler, die sich auf den Hochschulzugang vorbereiten oder Mathematikolympiaden durchführen, nützlich sein.

Das digitale Produkt liegt im PDF-Format vor und kann direkt nach der Bezahlung heruntergeladen werden. Bei Problemen beim Herunterladen oder Ansehen können sich Kunden an das Support-Team wenden, das jederzeit für Hilfe da ist.

Durch den Kauf dieses digitalen Produkts erhalten Sie nicht nur nützliches Material für das Mathematikstudium, sondern sparen auch Zeit bei der eigenständigen Lösung von Problemen, was besonders bei Prüfungen und Sitzungen wichtig ist.

Verpassen Sie nicht die Gelegenheit, Ihre Leistungen in Mathematik zu verbessern und nützliches Material für das Studium dieser Wissenschaft zu erwerben!

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Ich präsentiere Ihnen eine Beschreibung des Produkts:

IDZ 3.1 ist eine Mathematikaufgabe, die aus drei Zahlen besteht.

Die erste Ausgabe gibt die Koordinaten von vier Punkten im Raum an. Es ist notwendig, Gleichungen für eine Ebene zu schreiben, die durch drei dieser Punkte verläuft, eine Linie, die durch zwei dieser Punkte verläuft, und eine Ebene, die durch einen dieser Punkte verläuft und senkrecht zur Linie verläuft. Sie müssen auch den Sinus und Cosinus der Winkel zwischen einer bestimmten Linie und einer Ebene ermitteln.

In der zweiten Ausgabe ist es notwendig, eine Gleichung der Ebene zu erstellen, die durch die Mitte des Segments senkrecht zu diesem Segment verläuft und deren gegebene Koordinaten ebenfalls angegeben sind.

In der dritten Ausgabe müssen Sie beweisen, dass eine Linie parallel zu einer bestimmten Ebene verläuft und die andere in dieser Ebene liegt. Dazu ist es notwendig, Kenntnisse über die Parallelität einer Linie und einer Ebene sowie die Tatsache zu nutzen, dass ein Punkt zu einer Ebene gehört, wenn seine Koordinaten die Gleichung dieser Ebene erfüllen.

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