Lösung zu Aufgabe 5.7.3 aus der Sammlung von Kepe O.E.

Lösung zu Aufgabe 5.7.3 aus der Sammlung von Kepe O.?. ist wie folgt: Gegeben sei ein Gleichungssystem der Form Ax = b, wobei A eine Matrix der Größe n x n ist, x und b Vektoren der Länge n sind. Es muss eine Lösung für dieses System gefunden werden.

Um das Problem zu lösen, können Sie die Gauß-Jordan-Methode oder die LU-Zerlegungsmethode verwenden. Die erste Methode besteht darin, eine erweiterte Matrix des Systems zu konstruieren, sie auf eine schrittweise Form zu reduzieren und umzukehren, wobei die Werte der Unbekannten nacheinander aus den oberen Zeilen der Matrix ermittelt werden. Die zweite Methode basiert auf der Zerlegung der Matrix A in das Produkt zweier Matrizen L und U, wobei L eine untere Dreiecksmatrix mit Einsen auf der Diagonale und U eine obere Dreiecksmatrix ist. Danach reduziert sich die Lösung des Systems auf die sequentielle Lösung zweier Gleichungssysteme Ly = b und Ux = y.

Die Wahl der Methode hängt von der konkreten Aufgabenstellung und den Eigenschaften der Matrix A ab.

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Aufgabe 5.7.3 aus der Sammlung von Kepe O.?. ist wie folgt formuliert:

„Die Höhe CD wird auf die Gerade AB abgesenkt. Finden Sie den Abstand vom Punkt E, der auf der Strecke CD liegt, zur Mitte der Strecke AB, wenn AB = 10 cm und CD = 6 cm.“

Um dieses Problem zu lösen, muss die Eigenschaft rechtwinkliger Dreiecke genutzt werden, nämlich: Die auf die Hypotenuse abgesenkte Höhe teilt sie in zwei kleinere Hypotenusen, von denen eine gleich der Projektion der anderen auf dieselbe Hypotenuse ist.

Um das Problem zu lösen, müssen Sie also die Länge des Segments CE ermitteln, die die Projektion der Höhe CD auf die Hypotenuse AB ist. Dies kann erreicht werden, indem man weiß, dass die Dreiecke AEC und BDC einander ähnlich sind, da ihre entsprechenden Winkel gleich sind (der Winkel AEC ist gleich dem Winkel BDC, da es sich um vertikale Winkel handelt, und der Winkel ACE ist gleich dem Winkel BCD, da sie es sind). entsprechende Winkel). Aus der Ähnlichkeit von Dreiecken folgt außerdem, dass das Verhältnis der Seitenlängen gleich dem Verhältnis der Hypotenusenlängen ist:

AE/BD = EC/DC

Wir ersetzen die bekannten Werte und erhalten:

AE/BD = EC/6

AE/(10 - AE) = EC/6

EC = 6AE/(10 - AE)

Dann ermitteln wir den Abstand vom Punkt E zur Mitte von AB, der der Hälfte der Hypotenuse AB, also 5 cm, entspricht.

Um den erforderlichen Abstand zu ermitteln, müssen Sie also die Länge des Segments EC mithilfe der obigen Formel berechnen und dann den Abstand zwischen Punkt E und der Mitte AB berechnen, der 5 cm minus der Länge des Segments EC entspricht.

Aufgabe 5.7.3 aus der Sammlung von Kepe O.?. ist wie folgt formuliert:

Ein homogener horizontaler Balken DE mit einem Gewicht von G = 6 kN am Punkt D ruht auf einem horizontalen gebogenen Stab ABC, der von einem vertikalen Kabel CF gehalten wird. Der Abstand BD zwischen den Punkten B und D beträgt 1 m. Es ist notwendig, den Abstand CD vom Punkt zu bestimmen C bis Punkt D, an dem die Zugkraft des Kabels CF 1 kN beträgt.

Antwort auf das Problem: 2 Meter.

Lösung zu Aufgabe 5.7.3 aus der Sammlung von Kepe O.?. ist wie folgt:

Gegeben sei eine Menge von Punkten auf einer Ebene. Es ist notwendig, ein Dreieck mit Eckpunkten an diesen Punkten zu finden, das die kleinste Fläche hat.

Um dieses Problem zu lösen, können Sie einen Algorithmus verwenden, der alle möglichen Dreiecke aufzählt, die aus drei Punkten einer gegebenen Menge bestehen. Für jedes Dreieck wird seine Fläche berechnet und das Dreieck mit der kleinsten Fläche ausgewählt.

Um den Suchvorgang zu beschleunigen, können Sie jedoch Algorithmen zur Berechnung der konvexen Hülle und zur Triangulation einer Reihe von Punkten auf einer Ebene verwenden.

Mit dem Algorithmus zur Berechnung der konvexen Hülle können Sie ein Polygon finden, in dem alle Punkte einer bestimmten Menge auf seiner Grenze liegen. Sie können dann über die Dreiecke iterieren, die durch die drei Eckpunkte dieses Polygons gebildet werden, und das Dreieck mit der kleinsten Fläche auswählen.

Mit dem Triangulationsalgorithmus können Sie viele Punkte auf einer Ebene in disjunkte Dreiecke unterteilen. Dann können Sie alle Dreiecke durchgehen und das Dreieck mit der kleinsten Fläche auswählen.

So lösen wir Aufgabe 5.7.3 aus der Sammlung von Kepe O.?. Sie können verschiedene Algorithmen verwenden, um aus einer gegebenen Menge von Punkten auf der Ebene das Dreieck mit der kleinsten Fläche zu finden.

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