Soluzione al problema 5.7.3 dalla collezione di Kepe O.E.

Soluzione al problema 5.7.3 dalla collezione di Kepe O.?. è la seguente: dato un sistema di equazioni della forma Ax = b, dove A è una matrice di dimensione n x n, xeb sono vettori di lunghezza n. È necessario trovare una soluzione a questo sistema.

Per risolvere il problema è possibile utilizzare il metodo di Gauss-Jordan o il metodo di scomposizione LU. Il primo metodo consiste nel costruire una matrice estesa del sistema, riducendola ad una forma a gradini e invertendola, in cui i valori delle incognite si trovano sequenzialmente dalle righe superiori della matrice. Il secondo metodo si basa sulla scomposizione della matrice A nel prodotto di due matrici L e U, dove L è una matrice triangolare inferiore con quelle sulla diagonale, U è una matrice triangolare superiore. Successivamente, la risoluzione del sistema si riduce alla risoluzione sequenziale di due sistemi di equazioni Ly = b e Ux = y.

La scelta del metodo dipende dal compito specifico e dalle proprietà della matrice A.

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Problema 5.7.3 dalla collezione di Kepe O.?. è così formulato:

"L'altezza CD è abbassata sulla retta AB. Trova la distanza dal punto E, che giace sul segmento CD, al centro del segmento AB, se AB = 10 cm e CD = 6 cm."

Per risolvere questo problema è necessario sfruttare la proprietà dei triangoli rettangoli e cioè: l'altezza abbassata sull'ipotenusa la divide in due ipotenuse più piccole, una delle quali è uguale alla proiezione dell'altra sulla stessa ipotenusa.

Quindi, per risolvere il problema, occorre trovare la lunghezza del segmento CE, che è la proiezione dell'altezza CD sull'ipotenusa AB. Ciò può essere fatto sapendo che i triangoli AEC e BDC sono simili tra loro, poiché i loro angoli corrispondenti sono uguali (l'angolo AEC è uguale all'angolo BDC, poiché sono angoli verticali, e l'angolo ACE è uguale all'angolo BCD, poiché sono angoli verticali) angoli corrispondenti). Inoltre, dalla somiglianza dei triangoli segue che il rapporto tra le lunghezze dei lati è uguale al rapporto tra le lunghezze delle ipotenuse:

AE/BD = EC/DC

Sostituiamo i valori noti e otteniamo:

AE/BD = EC/6

AE/(10 - AE) = EC/6

EC = 6AE/(10 - AE)

Poi troviamo la distanza dal punto E al centro di AB, che è uguale alla metà dell'ipotenusa AB, cioè 5 cm.

Quindi, per trovare la distanza richiesta, è necessario calcolare la lunghezza del segmento EC utilizzando la formula sopra e quindi calcolare la distanza tra il punto E e il centro AB, che è pari a 5 cm meno la lunghezza del segmento EC.

Problema 5.7.3 dalla collezione di Kepe O.?. è così formulato:

Una trave orizzontale omogenea DE di peso G = 6 kN nel punto D poggia su un'asta curva orizzontale ABC, tenuta da un cavo verticale CF. La distanza BD tra i punti B e D è 1 m. È necessario determinare la distanza CD dal punto C al punto D, in cui la tensione del cavo CF sarà pari a 1 kN.

Risposta al problema: 2 metri.

Soluzione al problema 5.7.3 dalla collezione di Kepe O.?. è come segue:

Dato un insieme di punti su un piano. È necessario trovare un triangolo con i vertici in questi punti che abbia l'area più piccola.

Per risolvere questo problema, puoi utilizzare un algoritmo per enumerare tutti i possibili triangoli formati da tre punti di un dato insieme. Per ogni triangolo viene calcolata la sua area e viene selezionato il triangolo con l'area più piccola.

Tuttavia, per accelerare il processo di ricerca, è possibile utilizzare algoritmi per calcolare lo scafo convesso e triangolare un insieme di punti su un piano.

L'algoritmo per il calcolo dello scafo convesso consente di trovare un poligono in cui tutti i punti di un dato insieme giacciono sul suo confine. Puoi quindi scorrere i triangoli formati dai tre vertici di questo poligono e selezionare il triangolo con l'area più piccola.

L'algoritmo di triangolazione consente di dividere molti punti su un piano in triangoli disgiunti. Quindi, puoi esaminare tutti i triangoli e scegliere il triangolo con l'area più piccola.

Quindi, per risolvere il problema 5.7.3 dalla collezione di Kepe O.?. Puoi utilizzare vari algoritmi per trovare il triangolo con l'area più piccola da un dato insieme di punti sul piano.

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