Solution au problème 5.7.3 de la collection Kepe O.E.

Solution au problème 5.7.3 de la collection Kepe O.?. est la suivante : étant donné un système d'équations de la forme Ax = b, où A est une matrice de taille n x n, x et b sont des vecteurs de longueur n. Il est nécessaire de trouver une solution à ce système.

Pour résoudre le problème, vous pouvez utiliser la méthode de Gauss-Jordan ou la méthode de décomposition LU. La première méthode consiste à construire une matrice étendue du système, en la réduisant à une forme pas à pas et en l'inversant, dans laquelle les valeurs des inconnues sont trouvées séquentiellement à partir des lignes supérieures de la matrice. La deuxième méthode est basée sur la décomposition de la matrice A en produit de deux matrices L et U, où L est une matrice triangulaire inférieure avec des uns sur la diagonale, U est une matrice triangulaire supérieure. Après cela, la résolution du système se réduit à résoudre séquentiellement deux systèmes d’équations Ly = b et Ux = y.

Le choix de la méthode dépend de la tâche spécifique et des propriétés de la matrice A.

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Problème 5.7.3 de la collection de Kepe O.?. est formulé ainsi :

"La hauteur CD est abaissée sur la droite AB. Trouvez la distance du point E, qui se trouve sur le segment CD, jusqu'au milieu du segment AB, si AB = 10 cm et CD = 6 cm."

Pour résoudre ce problème, il faut utiliser la propriété des triangles rectangles, à savoir : la hauteur descendue sur l'hypoténuse la divise en deux hypoténuses plus petites dont l'une est égale à la projection de l'autre sur la même hypoténuse.

Ainsi, pour résoudre le problème, il faut trouver la longueur du segment CE, qui est la projection de la hauteur CD sur l'hypoténuse AB. Cela peut être fait en sachant que les triangles AEC et BDC sont semblables entre eux, puisque leurs angles correspondants sont égaux (l'angle AEC est égal à l'angle BDC, puisqu'ils sont des angles verticaux, et l'angle ACE est égal à l'angle BCD, puisqu'ils sont angles correspondants) . Aussi, de la similitude des triangles, il résulte que le rapport des longueurs des côtés est égal au rapport des longueurs des hypoténuses :

AE/BD = EC/DC

On substitue les valeurs connues et on obtient :

AE/BD = EC/6

AE/(10 - AE) = EC/6

CE = 6AE/(10 - AE)

On trouve ensuite la distance du point E au milieu de AB, qui est égale à la moitié de l'hypoténuse AB, soit 5 cm.

Ainsi, pour trouver la distance requise, vous devez calculer la longueur du segment EC à l'aide de la formule ci-dessus puis calculer la distance entre le point E et le milieu AB, qui est égale à 5 cm moins la longueur du segment EC.

Problème 5.7.3 de la collection de Kepe O.?. est formulé ainsi :

Une poutre horizontale homogène DE pesant G = 6 kN au point D repose sur une tige courbe horizontale ABC, maintenue par un câble vertical CF. La distance BD entre les points B et D est de 1 m. Il faut déterminer la distance CD du point C jusqu'au point D, auquel la tension du câble CF sera égale à 1 kN.

Réponse au problème : 2 mètres.

Solution au problème 5.7.3 de la collection Kepe O.?. est comme suit:

Étant donné un ensemble de points sur un plan. Il est nécessaire de trouver un triangle avec des sommets en ces points qui ait la plus petite aire.

Pour résoudre ce problème, vous pouvez utiliser un algorithme permettant d'énumérer tous les triangles possibles formés par trois points d'un ensemble donné. Pour chaque triangle, son aire est calculée et le triangle ayant la plus petite aire est sélectionné.

Cependant, pour accélérer le processus de recherche, vous pouvez utiliser des algorithmes permettant de calculer l'enveloppe convexe et de trianguler un ensemble de points sur un plan.

L'algorithme de calcul de l'enveloppe convexe permet de trouver un polygone dans lequel tous les points d'un ensemble donné se trouvent sur sa frontière. Vous pouvez ensuite parcourir les triangles formés par les trois sommets de ce polygone et sélectionner le triangle ayant la plus petite aire.

L'algorithme de triangulation permet de diviser plusieurs points d'un plan en triangles disjoints. Ensuite, vous pouvez parcourir tous les triangles et choisir celui qui a la plus petite aire.

Ainsi, pour résoudre le problème 5.7.3 de la collection de Kepe O.?. Vous pouvez utiliser divers algorithmes pour trouver le triangle ayant la plus petite aire à partir d’un ensemble donné de points sur le plan.

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