Solução para o problema 5.7.3 da coleção de Kepe O.E.

Solução do problema 5.7.3 da coleção de Kepe O.?. é o seguinte: dado um sistema de equações da forma Ax = b, onde A é uma matriz de tamanho n x n, x e b são vetores de comprimento n. É necessário encontrar uma solução para este sistema.

Para resolver o problema, você pode usar o método Gauss-Jordan ou o método de decomposição LU. O primeiro método consiste em construir uma matriz estendida do sistema, reduzindo-a a uma forma stepwise e revertendo-a, na qual os valores das incógnitas são encontrados sequencialmente a partir das linhas superiores da matriz. O segundo método baseia-se na decomposição da matriz A no produto de duas matrizes L e U, onde L é uma matriz triangular inferior com unidades na diagonal, U é uma matriz triangular superior. Depois disso, a resolução do sistema se reduz à resolução sequencial de dois sistemas de equações Ly = b e Ux = y.

A escolha do método depende da tarefa específica e das propriedades da matriz A.

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Problema 5.7.3 da coleção de Kepe O.?. é formulado da seguinte forma:

"A altura CD é abaixada na reta AB. Encontre a distância do ponto E, que fica no segmento CD, até o meio do segmento AB, se AB = 10 cm e CD = 6 cm."

Para resolver este problema, é necessário utilizar a propriedade dos triângulos retângulos, a saber: a altura baixada sobre a hipotenusa a divide em duas hipotenusas menores, uma das quais é igual à projeção da outra na mesma hipotenusa.

Assim, para resolver o problema, é necessário encontrar o comprimento do segmento CE, que é a projeção da altura CD na hipotenusa AB. Isso pode ser feito sabendo que os triângulos AEC e BDC são semelhantes entre si, pois seus ângulos correspondentes são iguais (o ângulo AEC é igual ao ângulo BDC, pois são ângulos verticais, e o ângulo ACE é igual ao ângulo BCD, pois são ângulos correspondentes). Além disso, segue-se da semelhança dos triângulos que a razão entre os comprimentos dos lados é igual à razão entre os comprimentos das hipotenusas:

AE/BD = CE/DC

Substituímos os valores conhecidos e obtemos:

AE/BD = CE/6

AE/(10 - AE) = CE/6

CE = 6AE/(10 - AE)

Então encontramos a distância do ponto E ao meio de AB, que é igual à metade da hipotenusa AB, ou seja, 5 cm.

Portanto, para encontrar a distância necessária, é necessário calcular o comprimento do segmento EC usando a fórmula acima e depois calcular a distância entre o ponto E e o meio AB, que é igual a 5 cm menos o comprimento do segmento EC.

Problema 5.7.3 da coleção de Kepe O.?. é formulado da seguinte forma:

Uma viga horizontal homogênea DE pesando G = 6 kN no ponto D repousa sobre uma haste curva horizontal ABC, presa por um cabo vertical CF. A distância BD entre os pontos B e D é de 1 m. É necessário determinar a distância CD do ponto C ao ponto D, no qual a tensão do cabo CF será igual a 1 kN.

Resposta ao problema: 2 metros.

Solução do problema 5.7.3 da coleção de Kepe O.?. é o seguinte:

Dado um conjunto de pontos em um plano. É necessário encontrar um triângulo com vértices nesses pontos que tenha a menor área.

Para resolver este problema, você pode usar um algoritmo para enumerar todos os triângulos possíveis formados por três pontos de um determinado conjunto. Para cada triângulo, sua área é calculada e o triângulo com menor área é selecionado.

No entanto, para acelerar o processo de pesquisa, você pode usar algoritmos para calcular o casco convexo e triangular um conjunto de pontos em um plano.

O algoritmo para calcular o casco convexo permite encontrar um polígono no qual todos os pontos de um determinado conjunto estão em seu limite. Você pode então iterar sobre os triângulos formados pelos três vértices deste polígono e selecionar o triângulo com a menor área.

O algoritmo de triangulação permite dividir muitos pontos em um plano em triângulos disjuntos. Depois, você pode percorrer todos os triângulos e escolher o triângulo com a menor área.

Assim, para resolver o problema 5.7.3 da coleção de Kepe O.?. Você pode usar vários algoritmos para encontrar o triângulo com a menor área de um determinado conjunto de pontos no plano.

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