Lösung zu Aufgabe 15.4.7 aus der Sammlung von Kepe O.E.

In der Aufgabe gibt es einen homogenen Zylinder 1 mit einer Masse m = 16 kg, der ohne zu gleiten entlang der inneren Zylinderfläche 2 rollt. Es ist notwendig, die kinetische Energie des Zylinders und den Zeitpunkt seiner Geschwindigkeit zu bestimmen Der Massenschwerpunkt C beträgt 2 m/s. Die Antwort auf das Problem ist 48.

Bei der Lösung des Problems können Sie die Formel für die kinetische Energie eines Körpers verwenden, die als halbes Produkt aus der Masse des Körpers und dem Quadrat seiner Bewegungsgeschwindigkeit ausgedrückt wird: K = (1/2) * m * v^2

Da der Zylinder rollt, ohne zu gleiten, kann seine Schwerpunktsgeschwindigkeit C aus der Bedingung bestimmt werden, dass die Geschwindigkeit eines Punktes auf der Oberfläche des Zylinders, der mit Oberfläche 2 in Kontakt steht, Null ist. Somit hängen die Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts C und die Geschwindigkeit eines Punktes auf der Oberfläche des Zylinders, der sich im Abstand r von der Rotationsachse befindet, durch die Beziehung zusammen: v = ω * r

wobei ω die Winkelgeschwindigkeit der Drehung des Zylinders ist.

Da der Zylinder homogen ist, kann sein Trägheitsmoment I relativ zur Rotationsachse wie folgt ausgedrückt werden: I = (1/2) * m * R^2

wo R. - Radius des Zylinders.

Aus dem Energieerhaltungssatz folgt, dass die kinetische Energie des Zylinders zum Zeitpunkt t gleich der Arbeit der Schwerkraft ist, die während der Zeit t entlang der Bahn des Zylinders verrichtet wird: K = m * g * h

Dabei ist g die Erdbeschleunigung und h die Höhe, auf die der Zylinder in der Zeit t ansteigt.

Da der Zylinder ohne Schlupf rollt, hängt seine Schwerpunktsgeschwindigkeit C mit der Winkelgeschwindigkeit ω wie folgt zusammen: v = ω * R

Mithilfe der Gleichung für die kinetische Energie und der Gleichung für das Trägheitsmoment können wir die Winkelgeschwindigkeit des Zylinders zum Zeitpunkt t ausdrücken: ω = √(2 * g * h / R)

Mit dem Wert der Winkelgeschwindigkeit können wir nun die Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts C berechnen: v = ω * R = R * √(2 * g * h / R) = √(2 * g * R * h )

Wenn wir den resultierenden Geschwindigkeitswert in die Formel für kinetische Energie einsetzen, erhalten wir: K = (1/2) * m * v^2 = (1/2) * m * (2 * g * R * h) = m * g *R*h

Da in der Problemstellung die Masse des Zylinders und der Radius seiner Basis angegeben sind, müssen Sie zur Bestimmung des Zeitpunkts, zu dem die Geschwindigkeit seines Massenmittelpunkts C 2 m/s beträgt, die Höhe h ermitteln, bis zu der der Zylinder gelangt Der Zylinder wird während dieser Zeit angehoben. Dies kann unter der Voraussetzung erfolgen, dass die Beschleunigung des Zylinders beim Gleiten entlang der Oberfläche gleich der Erdbeschleunigung ist: a = g * sin(α)

wobei α der Neigungswinkel der Oberfläche 2 zum Horizont ist.

Da der Zylinder ohne Schlupf rollt, kann der Neigungswinkel der Oberfläche 2 zum Horizont aus der Beziehung zwischen den Radien der Zylinder 1 und 2 ermittelt werden: tan(α) = (R_2 - R_1) / L

wobei L der Abstand zwischen den Mittelpunkten der Zylinder ist.

Wenn wir die Werte der Masse des Zylinders, des Radius seiner Basis und der Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts in den Ausdruck für kinetische Energie einsetzen, erhalten wir: K = m * g * R * h = 16 * 9,81 * 0,5 * h = 78,48 * h

Damit die Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts C gleich 2 m/s ist, muss die Zeit t ermittelt werden, in der der Zylinder auf eine Höhe ansteigt, die dieser Geschwindigkeit entspricht. Aus der Bewegungsgleichung können Sie die Höhe des Zylinders während der Zeit t ermitteln: h = (1/2) * a * t^2

wobei die Beschleunigung a hier gleich der Erdbeschleunigung g * sin(α) ist.

Somit erhalten wir eine Gleichung zur Bestimmung des Zeitpunkts, zu dem die Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts C gleich 2 m/s ist: 78,48 * h = 16 * 9,81 * R * (1/2) * sin(α) * t^2 h = (2 * R * sin(α) * t^2) / 9,81 78,48 * (2 * R * sin(α) * t^2) / 9,81 = 16 * 9,81 * R * (1/2 ) * sin(α) * t ^2 t^2 = (2 * 78,48) / (16 * 0,5) = 9,81 t = √9,81 = 3,13 Sekunden

Somit beträgt der Zeitpunkt, an dem die Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts C 2 m/s beträgt, 3,13 Sekunden. Die kinetische Energie des Zylinders beträgt in diesem Moment 48 J.

Dieses digitale Produkt ist eine Lösung für Problem 15.4.7 aus einer Sammlung physikalischer Probleme, verfasst von O.?. Kepe. Die Lösung dieses Problems wird es uns ermöglichen, die kinetische Energie und den Zeitpunkt zu ermitteln, an dem die Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts eines homogenen Zylinders 2 m/s beträgt und er entlang der inneren Zylinderoberfläche rollt, ohne zu gleiten.

Die vorgestellte Lösung enthält eine schrittweise Beschreibung des Algorithmus zur Lösung des Problems sowie die zur Lösung erforderlichen Formeln und Berechnungen. Alle Materialien sind in einem schönen HTML-Format gestaltet, sodass Sie die präsentierten Informationen bequem anzeigen und studieren können.

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Bei diesem digitalen Produkt handelt es sich um eine Lösung zur Aufgabe 15.4.7 aus der Aufgabensammlung der Physik des Autors O.?. Kepe. Das Problem besteht darin, die kinetische Energie eines homogenen Zylinders mit einer Masse von 16 kg zu bestimmen, der ohne Gleiten entlang der inneren Zylinderfläche 2 rollt, sowie den Zeitpunkt zu bestimmen, zu dem die Geschwindigkeit seines Massenschwerpunkts C gleich ist bis 2 m/s.

Die Lösung des Problems beginnt mit der Verwendung der Formel für die kinetische Energie eines Körpers, die als halbes Produkt aus der Masse des Körpers und dem Quadrat seiner Bewegungsgeschwindigkeit ausgedrückt wird. Da der Zylinder außerdem rollt, ohne zu gleiten, kann seine Schwerpunktsgeschwindigkeit C aus der Bedingung bestimmt werden, dass die Geschwindigkeit eines Punktes auf der Oberfläche des Zylinders, der mit Oberfläche 2 in Kontakt steht, gleich Null ist. Somit hängen die Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts C und die Geschwindigkeit eines Punktes auf der Oberfläche des Zylinders, der sich im Abstand r von der Rotationsachse befindet, durch die Beziehung zusammen: v = ω * r, wobei ω die Winkelgeschwindigkeit ist der Drehung des Zylinders.

Mithilfe der Formel für das Trägheitsmoment eines homogenen Zylinders um die Rotationsachse können wir dann das Trägheitsmoment I durch die Masse des Zylinders und den Radius seiner Basis ausdrücken.

Aus dem Energieerhaltungssatz folgt außerdem, dass die kinetische Energie des Zylinders zum Zeitpunkt t gleich der Arbeit ist, die die Schwerkraft entlang der Bahn des Zylinders während des Zeitpunkts t verrichtet. Wenn wir also die Erdbeschleunigung und die Höhe kennen, auf die der Zylinder in der Zeit t aufsteigt, können wir die kinetische Energie des Zylinders durch die Masse des Zylinders und den Radius seiner Basis ausdrücken.

Um den Zeitpunkt zu bestimmen, zu dem die Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts C 2 m/s beträgt, muss die Höhe h ermittelt werden, auf die der Zylinder in diesem Zeitraum ansteigt. Dies kann erreicht werden, indem man den Neigungswinkel der Oberfläche 2 zum Horizont kennt, der aus der Beziehung zwischen den Radien der Zylinder 1 und 2 ermittelt werden kann, und indem man außerdem die Bewegungsgleichung verwendet, um die Höhe des Zylinders im Laufe der Zeit zu berechnen T.

Durch Einsetzen der erhaltenen Werte in die entsprechenden Formeln erhalten Sie die Antwort auf das Problem: Der Zeitpunkt, zu dem die Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts C 2 m/s beträgt, beträgt 3,13 Sekunden und die kinetische Energie des Zylinders beträgt dieser Moment beträgt 48 J.

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Lösung zu Aufgabe 15.4.7 aus der Sammlung von Kepe O.?. besteht darin, die kinetische Energie eines homogenen Zylinders mit einem Gewicht von 16 kg zu bestimmen, der ohne zu rutschen entlang der inneren Zylinderoberfläche rollt. Es ist auch erforderlich, den Zeitpunkt zu finden, an dem die Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts von Zylinder C 2 m/s beträgt.

Um dieses Problem zu lösen, ist es notwendig, die Gesetze der Mechanik zu nutzen. Nach dem Energieerhaltungssatz ist die kinetische Energie eines Körpers gleich der Hälfte des Produkts aus seiner Masse und dem Quadrat der Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts. Um den Zeitpunkt zu bestimmen, an dem die Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts 2 m/s beträgt, muss die Bewegungsgleichung des Körpers verwendet werden.

Basierend auf den Bedingungen des Problems können wir den Radius der inneren Zylinderfläche bestimmen, entlang derer der Zylinder rollt. Dann sollten Sie das Trägheitsmoment des Zylinders relativ zu seiner Drehachse bestimmen, das von seiner Form und Größe abhängt. Für einen homogenen Zylinder der Masse M und des Radius R ist das Trägheitsmoment gleich (1/2)MR^2.

Als nächstes können Sie die lineare Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts des Zylinders mithilfe des Energieerhaltungssatzes und der Bewegungsgleichung ermitteln. Aus der Bewegungsgleichung können Sie die Zeit ermitteln, nach der die Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts 2 m/s erreicht.

Somit die Lösung zu Aufgabe 15.4.7 aus der Sammlung von Kepe O.?. besteht in der konsequenten Anwendung der Gesetze der Mechanik und mathematischer Formeln zur Bestimmung der kinetischen Energie des Zylinders und des Zeitpunkts, zu dem die Geschwindigkeit seines Massenschwerpunkts C gleich 2 m/s ist. Die Antwort auf das Problem ist 48.

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