IDZ Ryabushko 3.2 Option 28

№1

Die Eckpunkte ∆АВС sind gegeben: А(1;–3); B(0;7); C(–2;4). Finden:

1. Gleichung der Seite AB;
2. CH-Höhengleichung;
3. AM die Gleichungsmedien;
4. Punkt N des Schnittpunkts des Medians AM und der Höhe CH;
5. Gleichung einer Linie, die durch den Scheitelpunkt C verläuft und parallel zur Seite AB verläuft;
6. Abstand vom Punkt C zur Geraden AB.

Antwort:

Zur Lösung des Problems benötigen wir folgende mathematische Formeln:

• Gleichung einer Geraden, die durch zwei gegebene Punkte verläuft:

(und und₁) / (X - X₁) = (j₂ - J₁) / (X₂ - X₁)

Die Gleichung einer Geraden in allgemeiner Form:

AX + Von + C = 0

Abstand vom Punkt zur Linie:

d = |AX₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)

a) Gleichung der Seite AB:

Um die Gleichung der Seite AB zu finden, müssen wir die Koeffizienten der Gleichung der geraden Linie ermitteln, die durch die Punkte A(1;–3) und B(0;7) verläuft.

Lassen Sie uns zunächst die Steigung der Geraden ermitteln:

k = (und₂ - J₁) / (X₂ - X₁) = (7 - (-3)) / (0 - 1) = -10

Dann finden wir den freien Koeffizienten:

b = y₁ - kx₁ = -3 - (-10) * 1 = 7

Somit lautet die Gleichung der Seite AB:

y = -10x + 7

b) CH-Höhengleichung:

Um die Gleichung für die Höhe CH zu finden, müssen wir die Koeffizienten der Gleichung der geraden Linie ermitteln, die durch den Punkt C(–2;4) und senkrecht zur Seite AB verläuft.

Ermitteln wir zunächst den Winkelkoeffizienten der Geraden senkrecht zur Seite AB:

k_AB = (y₂ - J₁) / (X₂ - X₁) = (7 - (-3)) / (0 - 1) = -10

Der Winkelkoeffizient einer Geraden senkrecht zur Seite AB ist gleich k_CD = 1 / k_AB = -1 / (-10) = 1/10.

Dann finden wir den freien Koeffizienten:

b = y₁ - k_CDx₁ = 4 - (1/10) * (-2) = 4.2

Somit hat die CH-Höhengleichung die Form:

y = (1/10)x + 4,2

(c) Die Gleichung für Medien lautet:

Um die Gleichung des Medians AM zu finden, müssen wir die Koeffizienten der Gleichung der geraden Linie finden, die durch den Punkt M (die Mitte der Seite AB) und den Scheitelpunkt C(–2;4) verläuft.

Finden wir zunächst die Koordinaten des Punktes M:

x_M = (x_A + x_B) / 2 = (1 + 0) / 2 = 0.5

y_M = (y_A + J_B) / 2 = (-3 + 7) / 2 = 2

Somit sind die Koordinaten des Punktes M gleich (0,5;2).

Finden wir die Steigung der Geraden:

k = (und₂ - J₁) / (X₂ - X₁) = (4 - 2) / (-2 - 0.5) = -4/5

Dann finden wir den freien Koeffizienten:

b = y₁ - kx₁ = 4 - (-4/5) * (-2) = 4.6

Somit hat die Mediengleichung AM die Form:

y = (-4/5)x + 4,6

d) Schnittpunkt N des Medians AM und der Höhe CH:

Um den Schnittpunkt des AM-Medians und der CH-Höhe zu finden, müssen wir das Gleichungssystem lösen:

{ y = (-4/5)x + 4,6

{ y = (1/10)x + 4,2

Wenn wir dieses Gleichungssystem lösen, erhalten wir:

x = 10, y = 8

Somit hat Punkt N die Koordinaten (10;8).

e) Gleichung einer Geraden, die durch den Scheitelpunkt C verläuft und parallel zur Seite AB verläuft:

Um die Gleichung einer Geraden zu finden, die durch den Scheitelpunkt C und parallel zur Seite AB verläuft, können wir die Steigung der Geraden verwenden, die durch die Punkte A und B verläuft:

k = (und₂ - J₁) / (x₂ - x₁) = (7 - (-3)) / (0 - 1) = -10

Dann finden wir den freien Koeffizienten:

b = y₁ - kx₁ = 4 - (-10) * (-2) = -16

Somit hat die Gleichung einer Geraden, die durch den Scheitelpunkt C verläuft und parallel zur Seite AB verläuft, die Form:

y = -10x - 16

f) Entfernung von

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