IDZ Ryabushko 3.2 Opción 28

№1

Los vértices ∆АВС están dados: А(1;–3); B(0;7); C(–2;4). Encontrar:

1. Ecuación del lado AB;
2. Ecuación de altura CH;
3. AM la ecuación media;
4. Punto N de intersección de la mediana AM y la altura CH;
5. Ecuación de una recta que pasa por el vértice C y es paralela al lado AB;
6. Distancia del punto C a la recta AB.

Respuesta:

Para resolver el problema necesitamos las siguientes fórmulas matemáticas:

• Ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados:

(y - y₁) / (X-X₁) = (y₂ - y₁) / (X₂ - X₁)

La ecuación de una recta en forma general:

Hacha + Por + C = 0

Distancia de punto a línea:

d = |Hacha₀ + Por₀ +C| / √(A² +B²)

a) Ecuación del lado AB:

Para encontrar la ecuación del lado AB, necesitamos encontrar los coeficientes de la ecuación de la línea recta que pasa por los puntos A(1;–3) y B(0;7).

Primero encontremos la pendiente de la recta:

k = (y₂ - y₁) / (X₂ - X₁) = (7 - (-3)) / (0 - 1) = -10

Luego encontramos el coeficiente libre:

segundo = y₁ -kX₁ = -3 - (-10) * 1 = 7

Por tanto, la ecuación del lado AB es:

y = -10x + 7

b) Ecuación de altura CH:

Para encontrar la ecuación de la altura CH, necesitamos encontrar los coeficientes de la ecuación de la línea recta que pasa por el punto C(–2;4) y es perpendicular al lado AB.

Encontremos primero el coeficiente angular de la recta perpendicular al lado AB:

k_AB = (y₂ - y₁) / (X₂ - X₁) = (7 - (-3)) / (0 - 1) = -10

El coeficiente angular de una recta perpendicular al lado AB es igual a k_CD = 1/k_AB = -1 / (-10) = 1/10.

Luego encontramos el coeficiente libre:

segundo = y₁ - k_CDx₁ = 4 - (1/10) * (-2) = 4.2

Por tanto, la ecuación de altura CH tiene la forma:

y = (1/10)x + 4,2

(c) La ecuación para los medios es:

Para encontrar la ecuación de la mediana AM, necesitamos encontrar los coeficientes de la ecuación de la línea recta que pasa por el punto M (el centro del lado AB) y el vértice C(–2;4).

Primero encontremos las coordenadas del punto M:

x_METRO = (x_A +x_B) / 2 = (1 + 0) / 2 = 0.5

y_METRO = (y_A + y_B) / 2 = (-3 + 7) / 2 = 2

Por tanto, las coordenadas del punto M son iguales a (0,5;2).

Encontremos la pendiente de la recta:

k = (y₂ - y₁) / (X₂ - X₁) = (4 - 2) / (-2 - 0.5) = -4/5

Luego encontramos el coeficiente libre:

segundo = y₁ -kx₁ = 4 - (-4/5) * (-2) = 4.6

Por tanto, la ecuación de los medios AM tiene la forma:

y = (-4/5)x + 4,6

d) Punto N de intersección de la mediana AM y la altura CH:

Para encontrar el punto de intersección de la mediana AM y la altura CH, necesitamos resolver el sistema de ecuaciones:

{y = (-4/5)x + 4,6

{y = (1/10)x + 4,2

Resolviendo este sistema de ecuaciones, obtenemos:

x = 10, y = 8

Por tanto, el punto N tiene coordenadas (10;8).

e) Ecuación de una recta que pasa por el vértice C y es paralela al lado AB:

Para encontrar la ecuación de una recta que pasa por el vértice C y paralela al lado AB, podemos usar la pendiente de la recta que pasa por los puntos A y B:

k = (y₂ - y₁) / (x₂ - X₁) = (7 - (-3)) / (0 - 1) = -10

Luego encontramos el coeficiente libre:

segundo = y₁ -kx₁ = 4 - (-10) * (-2) = -16

Así, la ecuación de una recta que pasa por el vértice C y es paralela al lado AB tiene la forma:

y = -10x - 16

f) Distancia desde

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