IDZ Ryabushko 3.2 Opção 28

№1

Os vértices ∆АВС são dados: А(1;–3); B(0;7); C(–2;4). Encontrar:

1. Equação do lado AB;
2. Equação de altura CH;
3. AM a equação media;
4. Ponto N de intersecção da mediana AM e altura CH;
5. Equação de uma reta que passa pelo vértice C e paralela ao lado AB;
6. Distância do ponto C à reta AB.

Responder:

Para resolver o problema precisamos das seguintes fórmulas matemáticas:

• Equação de uma reta que passa por dois pontos dados:

(e e₁) / (x -x₁) = (s₂ - sim₁) / (x₂ -x₁)

A equação de uma linha reta na forma geral:

Machado + Por + C = 0

Distância do ponto à linha:

d = | Machado₀ + Por₀ +C| / √(UMA² +B²)

a) Equação do lado AB:

Para encontrar a equação do lado AB, precisamos encontrar os coeficientes da equação da reta que passa pelos pontos A(1;–3) e B(0;7).

Vamos primeiro encontrar a inclinação da reta:

k = (e₂ - sim₁) / (x₂ -x₁) = (7 - (-3)) / (0 - 1) = -10

Então encontramos o coeficiente livre:

b = sim₁ - kx₁ = -3 - (-10) * 1 = 7

Assim, a equação do lado AB é:

y = -10x + 7

b) Equação da altura CH:

Para encontrar a equação da altura CH, precisamos encontrar os coeficientes da equação da reta que passa pelo ponto C(–2;4) e é perpendicular ao lado AB.

Vamos primeiro encontrar o coeficiente angular da reta perpendicular ao lado AB:

k_AB = (s₂ - sim₁) / (x₂ -x₁) = (7 - (-3)) / (0 - 1) = -10

O coeficiente angular de uma linha reta perpendicular ao lado AB é igual a k_CD = 1/k_AB = -1 / (-10) = 1/10.

Então encontramos o coeficiente livre:

b = y₁ - k_CDx₁ = 4 - (1/10) * (-2) = 4.2

Assim, a equação da altura CH tem a forma:

y = (1/10)x + 4,2

(c) A equação para mídia é:

Para encontrar a equação da mediana AM, precisamos encontrar os coeficientes da equação da reta que passa pelo ponto M (meio do lado AB) e pelo vértice C(–2;4).

Vamos primeiro encontrar as coordenadas do ponto M:

x_M = (x_A +x_B) / 2 = (1 + 0) / 2 = 0.5

y_M = (s_A + você_B) / 2 = (-3 + 7) / 2 = 2

Assim, as coordenadas do ponto M são iguais a (0,5;2).

Vamos encontrar a inclinação da linha:

k = (e₂ - sim₁) / (x₂ -x₁) = (4 - 2) / (-2 - 0.5) = -4/5

Então encontramos o coeficiente livre:

b = y₁ - kx₁ = 4 - (-4/5) * (-2) = 4.6

Assim, a equação da mídia AM tem a forma:

y = (-4/5)x + 4,6

d) Ponto N de intersecção da mediana AM e altura CH:

Para encontrar o ponto de intersecção da mediana AM e a altura CH, precisamos resolver o sistema de equações:

{y = (-4/5)x + 4,6

{y = (1/10)x + 4,2

Resolvendo este sistema de equações, obtemos:

x = 10, y = 8

Assim, o ponto N possui coordenadas (10;8).

e) Equação de uma reta que passa pelo vértice C e paralela ao lado AB:

Para encontrar a equação de uma reta que passa pelo vértice C e paralela ao lado AB, podemos usar a inclinação da reta que passa pelos pontos A e B:

k = (e₂ - sim₁) / (x₂ - x₁) = (7 - (-3)) / (0 - 1) = -10

Então encontramos o coeficiente livre:

b = y₁ - kx₁ = 4 - (-10) * (-2) = -16

Assim, a equação de uma reta que passa pelo vértice C e paralela ao lado AB tem a forma:

y = -10x - 16

f) Distância de

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