Eine horizontale Stange mit einer Länge von 0,8 m und einem Gewicht von 10 kg kann sich um eine vertikale Achse drehen, die durch ihre Mitte verläuft. Eine Kugel mit der Masse 5 g trifft mit einer Geschwindigkeit von 80 m/s auf das Ende des Stabes. Es ist notwendig, die Winkelgeschwindigkeit zu bestimmen, bei der sich der Stab zu drehen beginnt, und die Geschwindigkeit des Balls nach dem Aufprall.
Zur Lösung des Problems nutzen wir den Drehimpulserhaltungssatz. Vor dem Stoß ist der Drehimpuls des Systems Null, da der Stab ruht. Nach der Kollision bleibt der Drehimpuls des Systems erhalten:
$m_1v_1 = m_2v_2 + I\omega$
Dabei sind $m_1$ und $v_1$ die Masse und Geschwindigkeit des Balls, $m_2$ und $v_2$ die Masse und Geschwindigkeit des Stabes und $I$ und $\omega$ das Trägheitsmoment und die Winkelgeschwindigkeit der Stange bzw.
Vor der Kollision der Kugel mit der Stange ist der Drehimpuls des Systems gleich:
$L_1 = m_1v_1 = 5\cdot10^{ -3}\cdot80 = 0,4\,\text{кг}\cdot\text{м}/\text{с}$
Nach der Kollision der Kugel mit der Stange entsteht durch die Reibungskraft am Kontaktpunkt zwischen Kugel und Stange ein Kraftmoment, das eine Drehung der Stange um eine vertikale Achse bewirkt. Das Trägheitsmoment des Stabes relativ zu seinem Massenschwerpunkt lässt sich nach folgender Formel berechnen:
$I = \frac{1}{12}mL^2$
Dabei ist $m$ die Masse des Stabes und $L$ seine Länge.
Wenn wir die Werte ersetzen, erhalten wir:
$I = \frac{1}{12}\cdot10\cdot0,8^2 = 0,053\,\text{кг}\cdot\text{м}^2$
Somit ist der Drehimpuls des Systems nach der Kollision gleich:
$L_2 = m_1v_1 = m_2v_2 + I\omega$
Drücken wir die Winkelgeschwindigkeit des Stabes aus:
$\omega = \frac{m_1v_1 - m_2v_2}{I}$
Wenn wir die Werte ersetzen, erhalten wir:
$\omega = \frac{5\cdot10^{ -3}\cdot80 - 10\cdot v_2}{0,053}$
Um die Geschwindigkeit des Balls nach dem Aufprall zu ermitteln, nutzen wir den Energieerhaltungssatz. Vor der Kollision ist die Energie des Systems gleich der kinetischen Energie des Balls:
$E_1 = \frac{1}{2}m_1v_1^2 = 0,16\,\text{Ö}$
Nach der Kollision ist die Energie des Systems gleich der kinetischen Energie von Kugel und Stab:
$E_2 = \frac{1}{2}m_1v_2^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
Somit wird der Energieerhaltungssatz wie folgt geschrieben:
$EAngenommen, ein horizontaler Stab mit einer Länge von 0,8 m und einem Gewicht von 10 kg kann sich um eine vertikale Achse drehen, die durch seine Mitte verläuft. Eine Kugel mit der Masse 5 g fliegt mit einer Geschwindigkeit von 80 m/s auf das Ende des Stabes zu. Wir müssen die Winkelgeschwindigkeit des Stabes nach dem Aufprall und die Geschwindigkeit des Balls bestimmen.
Um das Problem zu lösen, verwenden wir den Drehimpulserhaltungssatz. Vor dem Stoß ist der Drehimpuls des Systems Null, da der Stab bewegungslos ist. Nach der Kollision bleibt der Drehimpuls des Systems erhalten:
$m_1v_1 = m_2v_2 + I\omega$
Dabei sind $m_1$ und $v_1$ die Masse und Geschwindigkeit des Balls, $m_2$ und $v_2$ sind die Masse und Geschwindigkeit des Stabes und $I$ und $\omega$ sind das Trägheitsmoment und die Winkelgeschwindigkeit der Stange bzw.
Vor der Kollision ist der Drehimpuls des Systems gleich:
$L_1 = m_1v_1 = 5\cdot10^{ -3}\cdot80 = 0,4\,\text{кг}\cdot\text{м}/\text{с}$
Nach einer Kollision erzeugt die Reibungskraft am Kontaktpunkt zwischen Kugel und Stab ein Kraftmoment, das den Stab in eine Drehung um eine vertikale Achse versetzt. Das Trägheitsmoment des Stabes relativ zu seinem Massenschwerpunkt lässt sich nach folgender Formel berechnen:
$I = \frac{1}{12}mL^2$
Dabei ist $m$ die Masse des Stabes, $L$ seine Länge.
Wenn wir die Werte ersetzen, erhalten wir:
$I = \frac{1}{12}\cdot10\cdot0,8^2 = 0,053\,\text{кг}\cdot\text{м}^2$
Somit ist der Drehimpuls des Systems nach der Kollision gleich:
$L_2 = m_1v_1 = m_2v_2 + I\omega$
Drücken wir die Winkelgeschwindigkeit des Stabes aus:
$\omega = \frac{m_1v_1 - m_2v_2}{I}$
Wenn wir die Werte ersetzen, erhalten wir:
$\omega = \frac{5\cdot10^{ -3}\cdot80 - 10\cdot v_2}{0,053}$
Um die Geschwindigkeit des Balls nach dem Aufprall zu ermitteln, nutzen wir den Energieerhaltungssatz. Vor der Kollision ist die Energie des Systems gleich der kinetischen Energie des Balls:
$E_1 = \frac{1}{2}m_1v_1^2 = 0,16\,\text{Ö}$
Nach der Kollision ist die Energie des Systems gleich der kinetischen Energie von Kugel und Stab:
$E_2 = \frac{1}{2}m_1v_2^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
Somit wird der Energieerhaltungssatz wie folgt geschrieben:
$E_1 = E_2$
Resch
Produktname: „Lösung des Drehstabproblems“
Produkttyp: E-Kurs
Preis: 500 Rubel
Der elektronische Kurs „Lösung des Problems einer rotierenden Stange“ richtet sich an Studierende und Schüler der Mechanik.
Der Kurs beinhaltet eine detaillierte Beschreibung der Lösung des Problems eines horizontalen Stabes mit einer Masse von 10 kg und einer Länge von 0,8 m, der sich um eine senkrecht dazu stehende, durch seine Mitte verlaufende vertikale Achse drehen kann. Eine Kugel mit einer Masse von 5 g und einer Geschwindigkeit von 80 m/s trifft auf das Ende der Stange. Der Kurs enthält detaillierte Berechnungen und Formeln, die zur Lösung des Problems erforderlich sind, sowie grafische Illustrationen und Animationen, um den Lösungsprozess besser zu verstehen.
Der elektronische Kurs „Lösung des Problems der rotierenden Stange“ wird in einem praktischen HTML-Format präsentiert, sodass Sie die benötigten Informationen schnell und einfach finden können. Der Kurs kann sowohl für das Selbststudium als auch als Material für Vorlesungen und Seminare nützlich sein.
Durch den Kauf dieses Kurses erhalten Sie Zugriff auf die Vollversion mit der Möglichkeit auf kostenlose Updates und Support.
Anhand der bereitgestellten Beschreibung lässt sich nicht eindeutig feststellen, um welches konkrete digitale Produkt es sich handelt. Beschrieben wird ein physikalisches System bestehend aus einem horizontal angeordneten Stab und einer darauf fallenden Kugel. Wenn Sie weitere Informationen oder ein konkretes Anliegen haben, helfe ich Ihnen gerne weiter!
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Ihre Frage enthält keine Produktbeschreibung. Wenn Sie eine Lösung für Problem 10728 suchen, kann ich diese Ihnen anbieten.
Um das Problem zu lösen, können wir die Gesetze der Energie- und Drehimpulserhaltung nutzen. Bevor der Ball auftrifft, ruht der Stab, seine Anfangswinkelgeschwindigkeit ist also Null. Nachdem der Ball auf die Stange trifft, entsteht ein Kraftmoment, das die Stange in eine Drehung um eine vertikale Achse versetzt.
Der Drehimpuls des Systems vor dem Aufprall ist Null, da der Stab ruht, und der Drehimpuls des Systems nach dem Aufprall muss erhalten bleiben. Deshalb können wir schreiben:
m_1 * v_1 = (m_1 + m_2) * v_2 * R + I * w
Dabei ist m_1 die Masse des Stabes, m_2 die Masse des Balls, v_1 die Geschwindigkeit des Balls vor dem Aufprall, v_2 die Geschwindigkeit des Balls nach dem Aufprall und R der Abstand vom Mittelpunkt Stab zum Auftreffpunkt der Kugel, I ist das Trägheitsmoment des Stabes, w ist die Winkelgeschwindigkeit der Drehung des Stabes nach dem Aufprall.
Das Trägheitsmoment der Stange lässt sich nach folgender Formel berechnen:
I = m_1 * L^2 / 12
wobei L die Länge des Stabes ist.
Der Abstand R lässt sich aus geometrischen Überlegungen ermitteln:
R = L / 2
Die Geschwindigkeit des Balls nach dem Aufprall kann mithilfe des Energieerhaltungssatzes ermittelt werden:
m_1 * v_1^2 / 2 = (m_1 + m_2) * v_2^2 / 2 + I * w^2 / 2
Nachdem wir dieses Gleichungssystem für w und v_2 gelöst haben, erhalten wir Antworten auf das Problem:
w = (m_1 * v_1 * L) / (2 * (m_1 + m_2) * I) v_2 = v_1 * (m_1 - (1/3) * m_2) / (m_1 + m_2)
Wenn wir die Zahlenwerte ersetzen, erhalten wir:
w ≈ 2,38 rad/s v_2 ≈ 79,99 m/s
Antwort: Die Winkelgeschwindigkeit, bei der sich der Stab zu drehen beginnt, beträgt etwa 2,38 rad/s und die Geschwindigkeit des Balls nach dem Aufprall beträgt etwa 79,99 m/s.
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Tolles digitales Produkt! Für meine Experimente ist ein 10 kg schwerer Horizontalstab ideal.
Ich bin mit dem Kauf einer 10 kg schweren Horizontalstange zufrieden. Es lässt sich problemlos an meine Geräte anschließen und funktioniert einwandfrei.
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Versteckte Funktionen eines Mobiltelefons, die Sie kennen - Уникальную электронную книгу под названием… ...