Un'asta orizzontale lunga 0,8 m e pesante 10 kg può ruotare attorno a un asse verticale passante per il suo centro. Una pallina di massa 5 g, che vola ad una velocità di 80 m/s, colpisce l'estremità dell'asta. È necessario determinare la velocità angolare alla quale l'asta inizia a ruotare e la velocità della palla dopo l'impatto.
Per risolvere il problema utilizziamo la legge di conservazione del momento angolare. Prima dell’urto il momento angolare del sistema è nullo poiché l’asta è ferma. Dopo l'urto il momento angolare del sistema si conserva:
$m_1v_1 = m_2v_2 + I\omega$
dove $m_1$ e $v_1$ sono la massa e la velocità della palla, $m_2$ e $v_2$ sono la massa e la velocità dell'asta, e $I$ e $\omega$ sono il momento di inerzia e la velocità angolare dell'asta, rispettivamente.
Prima dell'urto della pallina con l'asta, il momento angolare del sistema è pari a:
$L_1 = m_1v_1 = 5\cdot10^{ -3}\cdot80 = 0,4\,\text{кг}\cdot\text{м}/\text{с}$
Dopo l'urto della sfera con l'asta, la forza di attrito nel punto di contatto tra la sfera e l'asta crea un momento di forza che provoca la rotazione dell'asta attorno ad un asse verticale. Il momento d'inerzia dell'asta rispetto al suo centro di massa può essere calcolato utilizzando la formula:
$I = \frac{1}{12}ml^2$
dove $m$ è la massa dell'asta, $L$ è la sua lunghezza.
Sostituendo i valori otteniamo:
$I = \frac{1}{12}\cdot10\cdot0,8^2 = 0,053\,\text{кг}\cdot\text{м}^2$
Pertanto il momento angolare del sistema dopo l’urto è pari a:
$L_2 = m_1v_1 = m_2v_2 + I\omega$
Esprimiamo la velocità angolare dell'asta:
$\omega = \frac{m_1v_1 - m_2v_2}{I}$
Sostituendo i valori otteniamo:
$\omega = \frac{5\cdot10^{ -3}\cdot80 - 10\cdot v_2}{0,053}$
Per trovare la velocità della palla dopo l'impatto, utilizziamo la legge di conservazione dell'energia. Prima dell’urto l’energia del sistema è uguale all’energia cinetica della palla:
$E_1 = \frac{1}{2}m_1v_1^2 = 0,16\,\text{Дж}$
Dopo l'urto, l'energia del sistema è uguale all'energia cinetica della sfera e dell'asta:
$E_2 = \frac{1}{2}m_1v_2^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
Pertanto la legge di conservazione dell’energia si scriverà come:
$EAsupponiamo che un'asta orizzontale lunga 0,8 m e pesante 10 kg possa ruotare attorno a un asse verticale passante per il suo centro. Una pallina di massa 5 g vola verso l'estremità dell'asta con una velocità di 80 m/s. Dobbiamo determinare la velocità angolare dell'asta dopo l'impatto e la velocità della palla.
Per risolvere il problema utilizzeremo la legge di conservazione del momento angolare. Prima dell'urto il momento angolare del sistema è nullo poiché l'asta è immobile. Dopo l'urto il momento angolare del sistema si conserva:
$m_1v_1 = m_2v_2 + I\omega$
Qui $m_1$ e $v_1$ sono la massa e la velocità della palla, $m_2$ e $v_2$ sono la massa e la velocità dell'asta e $I$ e $\omega$ sono il momento di inerzia e la velocità angolare dell'asta, rispettivamente.
Prima dell’urto il momento angolare del sistema è pari a:
$L_1 = m_1v_1 = 5\cdot10^{ -3}\cdot80 = 0,4\,\text{кг}\cdot\text{м}/\text{с}$
Dopo una collisione, la forza di attrito nel punto di contatto tra la sfera e l'asta crea un momento di forza che fa ruotare l'asta attorno ad un asse verticale. Il momento d'inerzia dell'asta rispetto al suo centro di massa può essere calcolato utilizzando la formula:
$I = \frac{1}{12}ml^2$
Qui $m$ è la massa dell'asta, $L$ è la sua lunghezza.
Sostituendo i valori otteniamo:
$I = \frac{1}{12}\cdot10\cdot0,8^2 = 0,053\,\text{кг}\cdot\text{м}^2$
Pertanto il momento angolare del sistema dopo l’urto è pari a:
$L_2 = m_1v_1 = m_2v_2 + I\omega$
Esprimiamo la velocità angolare dell'asta:
$\omega = \frac{m_1v_1 - m_2v_2}{I}$
Sostituendo i valori otteniamo:
$\omega = \frac{5\cdot10^{ -3}\cdot80 - 10\cdot v_2}{0,053}$
Per trovare la velocità della palla dopo l'impatto, usiamo la legge di conservazione dell'energia. Prima dell’urto l’energia del sistema è uguale all’energia cinetica della palla:
$E_1 = \frac{1}{2}m_1v_1^2 = 0,16\,\text{Дж}$
Dopo l'urto, l'energia del sistema è uguale all'energia cinetica della sfera e dell'asta:
$E_2 = \frac{1}{2}m_1v_2^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
Pertanto la legge di conservazione dell’energia si scriverà come:
$E_1 = E_2$
Resh
Nome del prodotto: "Soluzione del problema dell'asta rotante"
Tipo di prodotto: corso elettronico
Prezzo: 500 rubli
Il corso elettronico "Risolvere il problema di un'asta rotante" è destinato a studenti e scolari che studiano meccanica.
Il corso prevede una descrizione dettagliata della soluzione al problema di un'asta orizzontale di massa 10 kg e lunga 0,8 m, che può ruotare attorno ad un asse verticale ad essa perpendicolare, passante per il suo centro. Una pallina con una massa di 5 g e una velocità di 80 m/s colpisce l'estremità dell'asta. Il corso contiene calcoli dettagliati e formule necessarie per risolvere il problema, nonché illustrazioni grafiche e animazioni per aiutare a comprendere meglio il processo di soluzione.
Il corso elettronico "Risolvere il problema dell'asta rotante" è presentato in un comodo formato HTML, che ti consente di trovare rapidamente e facilmente le informazioni di cui hai bisogno. Il corso può essere utile sia per lo studio indipendente che come materiale per lezioni e seminari.
Acquistando questo corso, avrai accesso alla versione completa con possibilità di aggiornamenti e supporto gratuiti.
Dalla descrizione fornita è impossibile determinare con chiarezza di quale specifico prodotto digitale stiamo parlando. La descrizione è data per un sistema fisico costituito da un'asta posizionata orizzontalmente e da una palla che cade su di essa. Se hai ulteriori informazioni o una richiesta specifica, sarò felice di aiutarti!
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Nella tua domanda non c'è la descrizione del prodotto. Se desideri una soluzione al problema 10728, posso fornirtela.
Per risolvere il problema possiamo utilizzare le leggi di conservazione dell’energia e del momento angolare. Prima che la palla colpisca, l'asta è ferma, quindi la sua velocità angolare iniziale è zero. Dopo che la palla colpisce l'asta, si verifica un momento di forza che fa ruotare l'asta attorno ad un asse verticale.
Il momento angolare del sistema prima dell'urto è zero, poiché l'asta è ferma, e il momento angolare del sistema dopo l'urto deve essere conservato. Pertanto possiamo scrivere:
m_1 * v_1 = (m_1 + m_2) * v_2 * R + I * w
dove m_1 è la massa dell'asta, m_2 è la massa della palla, v_1 è la velocità della palla prima dell'impatto, v_2 è la velocità della palla dopo l'impatto, R è la distanza dal centro dell'asta asta al punto di impatto della sfera, I è il momento di inerzia dell'asta, w è la velocità angolare di rotazione dell'asta dopo l'impatto .
Il momento di inerzia dell'asta può essere calcolato utilizzando la formula:
Io = m_1 * L^2 / 12
dove L è la lunghezza dell'asta.
La distanza R può essere ricavata da considerazioni geometriche:
R = L/2
La velocità della palla dopo l'impatto può essere calcolata utilizzando la legge di conservazione dell'energia:
m_1 * v_1^2 / 2 = (m_1 + m_2) * v_2^2 / 2 + I * w^2 / 2
Avendo risolto questo sistema di equazioni per w e v_2, otteniamo le risposte al problema:
w = (m_1 * v_1 * L) / (2 * (m_1 + m_2) * I) v_2 = v_1 * (m_1 - (1/3) * m_2) / (m_1 + m_2)
Sostituendo i valori numerici otteniamo:
w ≈ 2,38 rad/s v_2 ≈ 79,99 m/s
Risposta: la velocità angolare alla quale l'asta inizia a ruotare è di circa 2,38 rad/s, e la velocità della palla dopo l'impatto è di circa 79,99 m/s.
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Sono soddisfatto dell'acquisto di un'asta orizzontale da 10 kg. Si collega facilmente alla mia attrezzatura e funziona perfettamente.
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