Der serielle Stromkreis enthält zwei

Der Reihenstromkreis enthält zwei Induktivitätsspulen L1=0,05H L2=0,075H, getrennt durch eine Kapazität C=0,02 μF und einen Widerstand R=800 Ohm, ebenfalls in Reihe geschaltet. Erstellen Sie basierend auf dem 2. Kirgoffschen Gesetz eine Differentialgleichung für Schwingungen einer elektrischen Ladung, schreiben Sie ihre Lösung auf und bestimmen Sie die zyklische Frequenz und Periode gedämpfter Schwingungen. Bestimmen Sie die Zeit, in der die Energie des elektrischen Feldes des Kondensators um das 7,34-fache abnimmt.

Aufgabe 31195.

Antwort:

Schreiben wir zunächst den Zustand des Problems auf:

Der serielle Stromkreis enthält:

• zwei Induktoren L1=0,05H und L2=0,075H;
• Kapazität C=0,02uF;
• Widerstand R=800 Ohm.

Die Schaltung ist in Reihe geschaltet.

Mit Kirgoffs 2. Gesetz erstellen wir eine Differentialgleichung für elektrische Ladungsschwingungen:

L1*d^2q/dt^2 + R*dq/dt + (1/C)*q - L2*d^2q/dt^2 = 0

Dabei ist q die Ladung des Kondensators und t die Zeit.

Lassen Sie uns diese Differentialgleichung lösen. Stellen wir uns die Lösung in der Form vor:

q = A*exp(-a*T)*weil(oh*t - f)

wobei A, α, ω und φ Konstanten sind, die gefunden werden müssen.

Setzen wir die Lösung in die Differentialgleichung der Schwingungen ein und finden wir die Konstanten:

A = Q0

α = (R/2L)*[1 ± sqrt(1 - 4*L1*L2/(L*(L+R*C)))], где L = L1 + L2

ω = 1/sqrt(L*C)

φ = arctg((2*L*(α+ω))/R)

Somit erhalten wir die Lösung:

q = Q0*exp(-a*T)*weil(oh*t - φ)

Wo:

Q0 ist die Anfangsladung des Kondensators.

α ist der Dämpfungskoeffizient.

ω - zyklische Frequenz.

φ - Anfangsphase.

Lassen Sie uns nun die zyklische Frequenz und Periode der gedämpften Schwingungen ermitteln:

ω = 1/sqrt(L*C) = 5000 rad/s

T = 2p/h = 0,00126 s

Finden wir die Zeit, in der die Energie des elektrischen Feldes des Kondensators um das 7,34-fache abnimmt:

Die Energie des elektrischen Feldes des Kondensators ist proportional zum Quadrat der Ladung auf dem Kondensator, und die Ladung auf dem Kondensator wird ausgedrückt durch q = Q0*exp(-α*t)*cos(ω*t - φ) . Somit ist die Energie des elektrischen Feldes des Kondensators proportional zum Ausdruck Q(t)^2 = Q0^2*exp(-2αt)*cos^2(ωt - φ). Um die Zeit zu ermitteln, in der die Energie des elektrischen Feldes des Kondensators um das 7,34-fache abnimmt, muss die Gleichung gelöst werden:

Q(t)^2 = (1/7,34)*Q0^2

Q0^2*exp(-2αt)*cos^2(ωt - φ) = (1/7,34)*Q0^2

exp(-2αt)*cos^2(ωt - φ) = 1/7,34

cos^2(ωt - φ) = (1/7,34)*exp(2αt)

cos(ωt - φ) = sqrt((1/7,34)*exp(2αt))

ωt - φ = ±arccos(sqrt((1/7,34)*exp(2αt)))

t = (1/2α)*ln(sqrt((1/7,34)*exp(2αt)) ± sqrt((1/7,34)*exp(2αt) - 1))

Ersetzen wir die zuvor erhaltenen Werte von α und Q0:

α = (R/2L)*[1 ± sqrt(1 - 4*L1*L2/(L*(L+R*C)))] ≈ 5241,7 с^-1

Q0 = C*U0 = 0,02*10^-6*220 = 4,4*10^-6 Kl

Um dann die Energie des elektrischen Feldes des Kondensators um das 7,34-fache zu reduzieren, muss die Gleichung gelöst werden:

t = (1/2*α)*ln(sqrt((1/7,34)*exp(2*α*t)) ± sqrt((1/7,34)*exp(2*α*t) - 1)) ≈ 0,0018 с

Somit beträgt die Zeit, in der die Energie des elektrischen Feldes des Kondensators um das 7,34-fache abnimmt, etwa 0,0018 s.

Antwort: Die zyklische Schwingungsfrequenz beträgt 5000 rad/s, die Periode gedämpfter Schwingungen beträgt 0,00126 s und die Zeit, in der die Energie des elektrischen Feldes des Kondensators um das 7,34-fache abnimmt, beträgt etwa 0,0018 s.

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Dieses digitale Produkt ist eine Lösung für das Problem eines seriellen Stromkreises, der zwei in Reihe geschaltete Induktoren, eine Kapazität und einen Widerstand, enthält.

Unter Verwendung des 2. Kirgoffschen Gesetzes wird eine Differentialgleichung für elektrische Ladungsschwingungen erstellt:

L1d^2q/dt^2 + Rdq/dt + (1/C)q - L2d^2q/dt^2 = 0

Dabei ist q die Ladung des Kondensators und t die Zeit.

Als nächstes wird die Lösung der Differentialgleichung wie folgt dargestellt:

q = Aexp(-αt)cos(ωt - φ)

wobei A, α, ω und φ Konstanten sind, die durch Einsetzen der Lösung in die Differentialgleichung der Schwingungen ermittelt werden.

Die zyklische Frequenz und Periode gedämpfter Schwingungen werden durch die Formeln bestimmt:

ω = 1/sqrt(L*C)

T = 2π/ω

Die Zeit, in der die Energie des elektrischen Feldes des Kondensators um das 7,34-fache abnimmt, wird durch Lösen der Gleichung bestimmt, die sich aus der Proportionalität der Energie des elektrischen Feldes des Kondensators zum Quadrat der Ladung auf dem Kondensator ergibt .

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Zunächst wurde eine Differentialgleichung für die Schwingungen der elektrischen Ladung in einem gegebenen Stromkreis unter Verwendung des 2. Kirgoffschen Gesetzes erstellt. Dann wurde eine Lösung dieser Gleichung gefunden, dargestellt in der Form q = Aexp(-αt)cos(ωt - φ), wobei A, α, ω und φ die gefundenen Konstanten sind.

Als nächstes wurden die zyklische Frequenz und die Periode der gedämpften Schwingungen bestimmt, die jeweils 5000 rad/s und 0,00126 s betragen.

Schließlich wurde die Zeit gefunden, in der die Energie des elektrischen Feldes des Kondensators um das 7,34-fache abnimmt, was ungefähr 0,0018 s entspricht.

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Bei diesem Artikel handelt es sich nicht um einen physischen Artikel, sondern um eine Beschreibung eines elektrotechnischen Problems. Das Problem beschreibt einen Reihenstromkreis, der zwei Induktivitäten L1=0,05H und L2=0,075H enthält, die durch eine Kapazität C=0,02μF und einen Widerstand R=800 Ohm getrennt und in Reihe geschaltet sind. Für diese Schaltung müssen Sie eine Differentialgleichung für Schwingungen einer elektrischen Ladung erstellen, ihre Lösung aufschreiben und die zyklische Frequenz und Periode der gedämpften Schwingungen bestimmen. Es muss auch die Zeit bestimmt werden, in der die Energie des elektrischen Feldes des Kondensators um das 7,34-fache abnimmt.

Zur Lösung des Problems werden das zweite Kirchhoffsche Gesetz, das Ohmsche Gesetz und Formeln zur Berechnung der elektrischen Feldenergie, der zyklischen Frequenz und der Periode gedämpfter Schwingungen verwendet. Eine detaillierte Lösung des Problems umfasst die Ableitung der notwendigen Formeln und Gesetze, das Schreiben der Schwingungsgleichung, deren Lösung sowie die Ermittlung der zyklischen Frequenz und Periode gedämpfter Schwingungen. Es muss auch die Zeit bestimmt werden, in der die Energie des elektrischen Feldes des Kondensators um das 7,34-fache abnimmt. Wenn Sie Fragen zur Lösung haben, können Sie um Hilfe bitten.

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