Kepe O.E. 收集的问题 7.8.20 的解决方案

7.8.20 点以切向加速度沿曲线路径移动 = 2 m/s2 时。有必要确定某一时刻速度向量与总加速度向量之间的角度（以度为单位） t = 2 秒，当轨迹的曲率半径 ？ = 4 米，并且在 t0 = 0 点速度 v0 = 0。答案：63.4。

这个问题是通过求t=2s时刻的点的速度矢量和加速度矢量来解决的。为此，您可以使用轨迹曲率半径方程：

R = (1 + 你'^2)^(3/2) / |你''|

在哪里 y' 和 y'' - 函数的一阶和二阶导数 y(x)，它指定点的轨迹。

我们来求函数的导数 y(x):

y' = dx/dt = v

y'' = d^2x/dt^2 = a

从何时起 t0 = 0 点速度 v0 = 0， 那 v = 在。让我们将此表达式代入曲率半径方程：

R = (1 + (at)^2)^(3/2) / |一个|

让我们用这个方程表达加速度模块 |a|:

|一个| = (1 + (在)^2)^(1/2) / R

现在我们来求该时刻该点的加速度向量 t=2с:

a = at * i + (-g) * j， 在哪里 i 和 j - 坐标轴的单位向量。

为了找到速度矢量，我们使用以下公式：

v = v0 + 积分(a,dt)

在哪里 v0 - 点的初始速度，在此问题中等于零。

让我们整合一段时间：

v = v0 + 积分(at * i + (-g) * j,dt) = 积分(at,dt) * i - gt * j = at^2 / 2 * i - gt * j

现在让我们找到速度和加速度向量之间的角度：

cos(α) = (a * v) / (|a| * |v|)

|v| = |at^2 / 2 * i - gt * j| = (a^2 * t^4 / 4 + g^2 * t^2)^(1/2)

让我们代入所有值并计算角度：

cos(α) = (2 * (2^2) * (4^2) / (4 * (1 + (2 * 4)^2)^(1/2) * (4^2 / 2 + 9.81^ 2 * 2）））

阿尔法 = arccos(cos(阿尔法))

答案：63.4

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Kepe O.? 收集的问题 7.8.20 的解决方案。在于确定时间 t = 2 s 时点的速度向量和总加速度之间的角度（以度为单位）。为此，您需要知道该点的切向加速度（等于 at = 2 m/s2）和轨迹的曲率半径（等于？ = 4m。还可知，在 t0 = 0 时，该点的速度为 v0 = 0。

为了解决这个问题，可以使用速度和加速度向量之间的联系公式：

a = aт + an,

式中，a为该点的总加速度，at为该点的切向加速度，an为该点的法向加速度。

点的法向加速度可以使用以下公式计算：

且 = v^2 / ?,

其中 v 是点的速度。

可以求出时刻 t = 2 s 时点的速度，已知在 t0 = 0 时，该点的速度为 v0 = 0，切向加速度等于 at = 2 m/s2：

v = v0 + at。

由此我们得到：

v = 2 m/s2 * 2 s = 4 m/s。

代入已知值即可求出一点的法向加速度：

一个 = v^2 / ? = 4^2 / 4 = 4 м/с2。

该点的总加速度为：

a = at + an = 2 m/s2 + 4 m/s2 = 6 m/s2。

现在您可以找到该点的速度向量和总加速度之间的角度：

余弦α=a/v，

其中 α 是所需的角度。

代入已知值，我们得到：

余弦α = 6 m/s2 / 4 m/s = 1.5，

α = arccos (1.5) ≈ 63.4 度。

答：63.4度。

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