Lösung für Aufgabe 7.8.20 aus der Sammlung von Kepe O.E.

7.8.20 Ein Punkt bewegt sich auf einer gekrümmten Bahn mit Tangentialbeschleunigung bei = 2 m/s2. Es ist notwendig, den Winkel in Grad zwischen den Geschwindigkeitsvektoren und der Gesamtbeschleunigung eines Punktes zum Jeweiligen Zeitpunkt zu bestimmen t = 2 s, wenn der Krümmungsradius der Flugbahn ? = 4 m, und bei t0 = 0 Punktgeschwindigkeit v0 = 0. Antwort: 63,4.

Dieses Problem wird gelöst, indem der Geschwindigkeitsvektor und der Beschleunigungsvektor des Punktes zum Zeitpunkt t=2s ermittelt werden. Dazu können Sie die Gleichung für den Krümmungsradius der Flugbahn verwenden:

R = (1 + du^2)^(3/2) / |y''|

Wo y' Und y'' - erste und zweite Ableitung von Funktionen y(x), das die Flugbahn des Punktes angibt.

Finden wir die Ableitungen der Funktion y(x):

y' = dx/dt = v

y'' = d^2x/dt^2 = a

Seit wann t0 = 0 Punktgeschwindigkeit v0 = 0, Das v = bei. Setzen wir diesen Ausdruck in die Gleichung für den Krümmungsradius ein:

R = (1 + (at)^2)^(3/2) / |a|

Lassen Sie uns das Beschleunigungsmodul aus dieser Gleichung ausdrücken |a|:

|a| = (1 + (at)^2)^(1/2) / R

Lassen Sie uns nun den Beschleunigungsvektor des Punktes zum jeweiligen Zeitpunkt ermitteln t=2с:

a = at * i + (-g) * j, Wo i Und j - Einheitsvektoren der Koordinatenachsen.

Um den Geschwindigkeitsvektor zu finden, verwenden wir die Formel:

v = v0 + Integral(a,dt)

Wo v0 - die Anfangsgeschwindigkeit des Punktes, die in diesem Problem gleich Null ist.

Lassen Sie uns im Laufe der Zeit Folgendes integrieren:

v = v0 + Integral(at * i + (-g) * j,dt) = Integral(at,dt) * i - gt * j = at^2 / 2 * i - gt * j

Lassen Sie uns nun den Winkel zwischen den Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektoren ermitteln:

cos(alpha) = (a * v) / (|a| * |v|)

|v| = |at^2 / 2 * i - gt * j| = (a^2 * t^4 / 4 + g^2 * t^2)^(1/2)

Ersetzen wir alle Werte und berechnen den Winkel:

cos(alpha) = (2 * (2^2) * (4^2) / (4 * (1 + (2 * 4)^2)^(1/2) * (4^2 / 2 + 9,81^ 2 * 2)))

alpha = arccos(cos(alpha))

Antwort: 63,4

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Um das Problem zu lösen, ist es notwendig, die Gleichung für den Krümmungsradius der Flugbahn zur Bestimmung des Beschleunigungsmoduls sowie Formeln zum Ermitteln der Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektoren zu verwenden. Die Lösung enthält alle notwendigen mathematischen Berechnungen und Formeln sowie die Antwort auf das Problem.

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Lösung zu Aufgabe 7.8.20 aus der Sammlung von Kepe O.?. besteht darin, den Winkel in Grad zwischen den Vektoren der Geschwindigkeit und der Gesamtbeschleunigung eines Punktes zum Zeitpunkt t = 2 s zu bestimmen. Dazu müssen Sie die Tangentialbeschleunigung des Punktes kennen, die gleich ist = 2 m/s2, und den Krümmungsradius der Flugbahn, der gleich ist? = 4m. Es ist auch gegeben, dass bei t0 = 0 die Geschwindigkeit des Punktes v0 = 0 ist.

Um das Problem zu lösen, können Sie die Formel für den Zusammenhang zwischen Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektoren verwenden:

a = aт + an,

Dabei ist a die Gesamtbeschleunigung des Punktes, at die Tangentialbeschleunigung des Punktes und an die Normalbeschleunigung des Punktes.

Die Normalbeschleunigung eines Punktes kann mit der Formel berechnet werden:

und = v^2 / ?,

Dabei ist v die Geschwindigkeit des Punktes.

Die Geschwindigkeit eines Punktes zum Zeitpunkt t = 2 s kann ermittelt werden, wenn man weiß, dass bei t0 = 0 die Geschwindigkeit des Punktes v0 = 0 ist und die Tangentialbeschleunigung gleich bei = 2 m/s2 ist:

v = v0 + at.

Somit erhalten wir:

v = 2 m/s2 * 2 s = 4 m/s.

Die Normalbeschleunigung eines Punktes kann durch Einsetzen bekannter Werte ermittelt werden:

an = v^2 / ? = 4^2 / 4 = 4 м/с2.

Die Gesamtbeschleunigung des Punktes beträgt:

a = at + an = 2 m/s2 + 4 m/s2 = 6 m/s2.

Jetzt können Sie den Winkel zwischen den Geschwindigkeitsvektoren und der Gesamtbeschleunigung des Punktes ermitteln:

cos α = a / v,

wobei α der gewünschte Winkel ist.

Wenn wir die bekannten Werte einsetzen, erhalten wir:

cos α = 6 m/s2 / 4 m/s = 1,5,

α = arccos (1,5) ≈ 63,4 Grad.

Antwort: 63,4 Grad.

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