Solução para o problema 7.8.20 da coleção Kepe O.E.

7.8.20 Um ponto se move ao longo de uma trajetória curva com aceleração tangencial em = 2 m/s2. É necessário determinar o ângulo em graus entre os vetores velocidade e aceleração total de um ponto no momento t = 2s, quando o raio de curvatura da trajetória ? = 4 metros, e em t0 = 0 velocidade do ponto v0 = 0. Resposta: 63,4.

Este problema é resolvido encontrando o vetor velocidade e o vetor aceleração do ponto no tempo t=2s. Para fazer isso, você pode usar a equação do raio de curvatura da trajetória:

R = (1 + você^2)^(3/2) / |você''|

Onde y' e y'' - primeira e segunda derivadas de funções você(x), que especifica a trajetória do ponto.

Vamos encontrar as derivadas da função você(x):

y' = dx/dt = v

y'' = d^2x/dt^2 = a

Desde quando t0 = 0 velocidade do ponto v0 = 0, que v = em. Vamos substituir esta expressão na equação do raio de curvatura:

R = (1 + (em) ^ 2) ^ (3/2) / |a|

Vamos expressar o módulo de aceleração desta equação |a|:

|a| = (1 + (em) ^ 2) ^ (1/2) / R

Agora vamos encontrar o vetor aceleração do ponto no momento t=2с:

uma = em * i + (-g) * j, Onde i e j - vetores unitários dos eixos coordenados.

Para encontrar o vetor velocidade usamos a fórmula:

v = v0 + integral(a,dt)

Onde v0 - a velocidade inicial do ponto, que neste problema é igual a zero.

Vamos integrar um ao longo do tempo:

v = v0 + integral(em * i + (-g) * j,dt) = integral(em,dt) * i - gt * j = em^2/2 * i - gt * j

Agora vamos encontrar o ângulo entre os vetores velocidade e aceleração:

cos(alfa) = (a * v) / (|a| * |v|)

|v| = |at^2/2 * i - gt * j| = (a ^ 2 * t ^ 4/4 + g ^ 2 * t ^ 2) ^ (1/2)

Vamos substituir todos os valores e calcular o ângulo:

cos (alfa) = (2 * (2 ^ 2) * (4 ^ 2) / (4 * (1 + (2 * 4) ^ 2) ^ (1/2) * (4 ^ 2/2 + 9,81 ^ 2*2)))

alfa = arcos(cos(alfa))

Resposta: 63,4

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Solução do problema 7.8.20 da coleção de Kepe O.?. consiste em determinar o ângulo em graus entre os vetores velocidade e aceleração total de um ponto no instante t = 2 s. Para fazer isso, você precisa saber a aceleração tangencial do ponto, que é igual a = 2 m/s2, e o raio de curvatura da trajetória, que é igual a? = 4m. Também é dado que em t0 = 0 a velocidade do ponto é v0 = 0.

Para resolver o problema, você pode usar a fórmula para a conexão entre os vetores velocidade e aceleração:

uma = umaт + uma,

onde a é a aceleração total do ponto, at é a aceleração tangencial do ponto, an é a aceleração normal do ponto.

A aceleração normal de um ponto pode ser calculada usando a fórmula:

e = v ^ 2 /?,

onde v é a velocidade do ponto.

A velocidade de um ponto no instante t = 2 s pode ser encontrada, sabendo que em t0 = 0 a velocidade do ponto é v0 = 0 e a aceleração tangencial é igual a em = 2 m/s2:

v = v0 + no.

Assim obtemos:

v = 2 m/s2 * 2 s = 4 m/s.

A aceleração normal de um ponto pode ser encontrada substituindo valores conhecidos:

um = v ^ 2 /? = 4^2/4 = 4 m/с2.

A aceleração total do ponto é:

a = em + an = 2 m/s2 + 4 m/s2 = 6 m/s2.

Agora você pode encontrar o ângulo entre os vetores velocidade e aceleração total do ponto:

porque α = a/v,

onde α é o ângulo desejado.

Substituindo os valores conhecidos, obtemos:

cos α = 6 m/s2 / 4 m/s = 1,5,

α = arcos (1,5) ≈ 63,4 graus.

Resposta: 63,4 graus.

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