Kepe O.E. のコレクションからの問題 7.8.20 の解決策

7.8.20 点が接線加速度で曲線パスに沿って移動する = 2 m/s2 で。ある時点での点の速度ベクトルと総加速度ベクトルの間の角度を度単位で決定する必要があります。 t = 2 秒、軌道の曲率半径が ? = 4 メートル、そして t0 = 0 ポイントスピード v0 = 0。答え：63.4。

この問題は、時刻 t=2s における点の速度ベクトルと加速度ベクトルを求めることで解決されます。これを行うには、軌道の曲率半径の方程式を使用できます。

R = (1 + やあ^2)^(3/2) / |よ」|

どこ y' そして y'' - 関数の一次導関数と二次導関数 y(x)、点の軌道を指定します。

関数の導関数を求めてみましょう y(x):

y' = dx/dt = v

y'' = d^2x/dt^2 = a

いつから t0 = 0 ポイントスピード v0 = 0、 それ v = で。この式を曲率半径の方程式に代入してみましょう。

R = (1 + (at)^2)^(3/2) / |a|

この式から加速度モジュールを表してみましょう |a|:

|a| = (1 + (at)^2)^(1/2) / R

では、ある時点の点の加速度ベクトルを求めてみましょう。 t=2с:

a = at * i + (-g) * j、 どこ i そして j - 座標軸の単位ベクトル。

速度ベクトルを見つけるには、次の式を使用します。

v = v0 + 積分(a,dt)

どこ v0 - 点の初速。この問題ではゼロに等しい。

時間をかけて統合してみましょう:

v = v0 + 積分(at * i + (-g) * j,dt) = 積分(at,dt) * i - gt * j = at^2 / 2 * i - gt * j

次に、速度ベクトルと加速度ベクトルの間の角度を見つけてみましょう。

cos(アルファ) = (a * v) / (|a| * |v|)

|v| = |at^2 / 2 * i - gt * j| = (a^2 * t^4 / 4 + g^2 * t^2)^(1/2)

すべての値を代入して角度を計算しましょう。

cos(アルファ) = (2 * (2^2) * (4^2) / (4 * (1 + (2 * 4)^2)^(1/2) * (4^2 / 2 + 9.81^ 2 * 2)))

アルファ = arccos(cos(アルファ))

答え: 63.4

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Kepe O.? のコレクションからの問題 7.8.20 の解決策。時間 t = 2 秒における点の速度ベクトルと合計加速度のベクトル間の角度を度単位で決定することにあります。これを行うには、点の接線加速度 (at = 2 m/s2 に等しい) と軌道の曲率半径 (次の値に等しい) を知る必要があります。 = 4m。また、t0 = 0 での点の速度は v0 = 0 であると仮定します。

この問題を解決するには、速度ベクトルと加速度ベクトルの間の関係の公式を使用できます。

a = aт + an、

ここで、a は点の合計加速度、at は点の接線加速度、an は点の垂直加速度です。

点の垂直加速度は、次の式を使用して計算できます。

そして = v^2 / ?、

ここで、v は点の速度です。

T0 = 0 での点の速度は v0 = 0 であり、接線方向の加速度は at = 2 m/s2 に等しいことがわかっているため、時間 t = 2 s での点の速度を求めることができます。

v = v0 + at.

したがって、次のようになります。

v = 2 m/s2 * 2 s = 4 m/s。

点の法線加速度は、既知の値を代入することで求めることができます。

an = v^2 / ? = 4^2 / 4 = 4 м/с2。

点の合計加速度は次のとおりです。

a = at + an = 2 m/s2 + 4 m/s2 = 6 m/s2。

これで、点の速度ベクトルと合計加速度のベクトルの間の角度を見つけることができます。

cos α = a / v、

ここで、α は希望の角度です。

既知の値を代入すると、次のようになります。

cos α = 6 m/s2 / 4 m/s = 1.5、

α = arccos (1.5) ≈ 63.4 度。

答え：63.4度。

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