Soluzione al problema 7.8.20 dalla collezione di Kepe O.E.

7.8.20 Un punto si muove lungo un percorso curvo con accelerazione tangenziale a = 2 m/s2. È necessario determinare l'angolo in gradi tra i vettori di velocità e l'accelerazione totale di un punto nel momento t = 2 secondi, quando il raggio di curvatura della traiettoria ? = 4 metri, e a t0 = 0 velocità del punto v0 = 0. Risposta: 63.4.

Questo problema viene risolto trovando il vettore velocità e il vettore accelerazione del punto al tempo t=2s. Per fare ciò, puoi utilizzare l'equazione per il raggio di curvatura della traiettoria:

R = (1 + sì^2)^(3/2) / |sì''|

Dove y' E y'' - derivata prima e seconda delle funzioni y(x), che specifica la traiettoria del punto.

Troviamo le derivate della funzione y(x):

y' = dx/dt = v

y'' = d^2x/dt^2 = a

Da quando t0 = 0 velocità del punto v0 = 0, Quello v = a. Sostituiamo questa espressione nell'equazione del raggio di curvatura:

R = (1 + (a)^2)^(3/2) / |a|

Esprimiamo il modulo di accelerazione da questa equazione |a|:

|a| = (1 + (a)^2)^(1/2) / R

Ora troviamo il vettore accelerazione del punto nell'istante temporale t=2с:

a = in * i + (-g) * J, Dove i E j - versori degli assi coordinati.

Per trovare il vettore velocità utilizziamo la formula:

v = v0 + integrale(a,dt)

Dove v0 - la velocità iniziale del punto, che in questo problema è pari a zero.

Integriamo un nel tempo:

v = v0 + integrale(at * i + (-g) * j,dt) = integrale(at,dt) * i - gt * j = at^2 / 2 * i - gt * j

Ora troviamo l’angolo tra i vettori velocità e accelerazione:

cos(alfa) = (a * v) / (|a| * |v|)

|v| = |at^2 / 2 * i - gt * j| = (a^2 * t^4 / 4 + g^2 * t^2)^(1/2)

Sostituiamo tutti i valori e calcoliamo l'angolo:

cos(alfa) = (2 * (2^2) * (4^2) / (4 * (1 + (2 * 4)^2)^(1/2) * (4^2 / 2 + 9,81^ 2 * 2)))

alfa = arccos(cos(alfa))

Risposta: 63.4

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Soluzione al problema 7.8.20 dalla collezione di Kepe O.?. consiste nel determinare l'angolo in gradi tra i vettori velocità e accelerazione totale di un punto al tempo t = 2 s. Per fare ciò è necessario conoscere l'accelerazione tangenziale del punto, che è pari a at = 2 m/s2, e il raggio di curvatura della traiettoria, che è pari a? = 4 metri. È inoltre dato che a t0 = 0 la velocità del punto è v0 = 0.

Per risolvere il problema si può utilizzare la formula per la connessione tra i vettori velocità e accelerazione:

a = aт + an,

dove a è l'accelerazione totale del punto, at è l'accelerazione tangenziale del punto, an è l'accelerazione normale del punto.

L'accelerazione normale di un punto può essere calcolata utilizzando la formula:

e = v^2 / ?,

dove v è la velocità del punto.

La velocità di un punto al tempo t = 2 s si può trovare sapendo che a t0 = 0 la velocità del punto è v0 = 0 e l'accelerazione tangenziale è pari a at = 2 m/s2:

v = v0 + at.

Otteniamo così:

v = 2 m/s2 * 2 s = 4 m/s.

L'accelerazione normale di un punto può essere trovata sostituendo i valori noti:

an = v^2 / ? = 4^2 / 4 = 4 м/с2.

L'accelerazione totale del punto è:

a = a + an = 2 m/s2 + 4 m/s2 = 6 m/s2.

Ora puoi trovare l'angolo tra i vettori di velocità e l'accelerazione totale del punto:

cosα = a/v,

dove α è l'angolo desiderato.

Sostituendo i valori noti, otteniamo:

cos α = 6 m/s2 / 4 m/s = 1,5,

α = arcocolli (1,5) ≈ 63,4 gradi.

Risposta: 63,4 gradi.

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