옵션 2 IDZ 3.1

№1.2

4개의 점 A1(3;–1;2)이 주어졌습니다. A2(–1;0;1); A3(1;7;3); A4(8;5;8).

a) A1A2A3 평면에 대한 방정식을 만들어 보겠습니다.

평면 A1A2A3에 있는 벡터:

A1A2 = (-1 - 3; 0 + 1; 1 - 2) = (-4; 1; -1)

A1A3 = (1 - 3; 7 + 1; 3 - 2) = (-2; 8; 1)

평면 A1A2A3의 법선 벡터:

n = [A1A2, A1A3] = (-1 - 3; 3 - 2; 0 - 8) = (-4; 1; -8)

평면 방정식:

-4x + y - 8z + d = 0

d를 찾으려면 점 A1의 좌표를 대체하십시오.

-4 * 3 + (-1) * (-1) - 8 * 2 + d = 0

d = 26

평면 A1A2A3의 방정식:

-4x + y - 8z + 26 = 0

b) 직선 A1A2에 대한 방정식을 만들어 보겠습니다.

직선 A1A2의 방향 벡터:

A1A2 = (-4; 1; -1)

직선의 방정식:

x = 3 - 4t, y = -1 + t, z = 2 - t, t ∈ R

c) 평면 A1A2A3에 수직인 직선 A4M에 대한 방정식을 만들어 보겠습니다.

평면 A1A2A3의 법선 벡터:

n = (-4; 1; -8)

방향 벡터 A4M:

А4M = (x - 8; y - 5; z - 8)

직각성 조건:

n * A4M = 0

-4(x - 8) + 1(y - 5) - 8(z - 8) = 0

라인 A4M의 방정식:

x = 8 + 2t, y = 5 - t, z = 8 + 0.5t, t ∈ R

d) 직선 A1A2와 평행한 직선 A3N에 대한 방정식을 만들어 보겠습니다.

직선 A1A2의 방향 벡터:

A1A2 = (-4; 1; -1)

라인 A3N의 방정식:

x = 1 + (-4)t, y = 7 + t, z = 3 - t, t ∈ R

e) 점 A4를 통과하고 직선 A1A2에 수직인 평면에 대한 방정식을 만들어 보겠습니다.

직선 A1A2의 방향 벡터:

A1A2 = (-4; 1; -1)

법선 평면 벡터:

n = (-4; 1; -1)

평면 방정식:

-4x + y - z + d = 0

d를 찾으려면 점 A4의 좌표를 대체하십시오.

-4 * 8 + 5 - 8 + d = 0

d = 27

평면 방정식:

-4x + y - z + 27 = 0

f) 직선 A1A4와 평면 A1A2A3 사이의 각도의 사인을 구합니다.

방향 벡터 직선 A1A4:

A1A4 = (5; 6; 6)

평면 A1A2A3의 법선 벡터:

n = (-4; 1; -8)

벡터 사이 각도의 사인:

죄 θ = |[А1А4, n]| / |А1А4| * |n|

죄 θ = |(48; 38; 29)| / √(5^2 + 6^2 + 6^2) * √(16 + 1 + 64)

죄 θ = 115 / √24545

g) 좌표 평면 Oxy와 평면 A1A2A3 사이의 각도의 코사인을 구해 보겠습니다.

Oxy 좌표 평면의 법선 벡터:

n = (0; 0; 1)

평면 A1A2A3의 법선 벡터:

n = (-4; 1; -8)

벡터 사이의 각도의 코사인:

cos θ = |n1 * n2| / |n1| * |n2|

cos θ = |-8| / √(16 + 1 + 64) * √1

cos θ = -8 / √81

№2.2

M1(1;5;6)인 경우 이 세그먼트에 수직인 세그먼트 M1M2의 중앙을 통과하는 평면에 대한 방정식을 작성해 보겠습니다. M2(–1;7;10).

세그먼트 M1M2의 방향 벡터:

M1M2 = (-2; 2; 4)

세그먼트 M1M2 중간의 좌표:

Mm = ((1 + (-1)) / 2; (5 + 7) / 2; (6 + 10) / 2) = (0; 6; 8)

원하는 평면의 법선 벡터:

n = M1M2 = (-2; 2; 4)

평면 방정식:

-2x + 2y + 4z + d = 0

d를 찾으려면 점 Mm의 좌표를 대체하십시오.

-2*0 + 2*6 + 4*8 + d = 0

d = -44

평면 방정식:

-2x + 2y + 4z - 44 = 0

№3.2

선 ......이 평면 2x + y – z = 0과 평행함을 증명하세요. 그리고 직선은 ..... 이 평면에 있습니다.

제기된 질문에 대한 답을 제공할 수 있도록 행에 대한 정보로 문제 설명을 보완할 필요가 있습니다. 조건을 지정해주세요.

제품 설명 - 변종 2 IDZ 3.1

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나는 당신에게 제품에 대한 설명을 제시합니다:

IDZ 3.1은 세 개의 숫자로 구성된 수학 작업입니다.

첫 번째 문제는 공간의 네 지점의 좌표를 제공합니다. 이들 점 중 세 개를 통과하는 평면, 이들 점 중 두 개를 통과하는 선, 이들 점 중 하나를 통과하고 선에 수직인 평면에 대한 방정식을 작성해야 합니다. 또한 주어진 선과 평면 사이의 각도의 사인과 코사인을 찾아야 합니다.

두 번째 문제에서는 해당 세그먼트에 수직인 세그먼트의 중앙을 통과하는 평면에 대한 방정식을 작성해야 하며 해당 좌표도 제공됩니다.

세 번째 문제에서는 한 선이 주어진 평면과 평행하고 다른 선이 이 평면에 있다는 것을 증명해야 합니다. 이를 위해서는 선과 평면의 평행성에 대한 지식과 좌표가 이 평면의 방정식을 만족하는 경우 점이 평면에 속한다는 사실을 사용해야 합니다.

***

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