オプション 2 IDZ 3.1

№1.2

4 つの点 A1(3;–1;2) が与えられるとします。 A2(-1;0;1); A3(1;7;3); A4(8;5;8)。

a) 平面 A1A2A3 の方程式を作成しましょう。

平面 A1A2A3 上にあるベクトル:

A1A2 = (-1 - 3; 0 + 1; 1 - 2) = (-4; 1; -1)

A1A3 = (1 - 3; 7 + 1; 3 - 2) = (-2; 8; 1)

平面 A1A2A3 の法線ベクトル:

n = [A1A2、A1A3] = (-1 ～ 3; 3 ～ 2; 0 ～ 8) = (-4; 1; -8)

平面方程式:

-4x + y - 8z + d = 0

d を見つけるには、点 A1 の座標を代入します。

-4 * 3 + (-1) * (-1) - 8 * 2 + d = 0

d = 26

平面 A1A2A3 の方程式:

-4x + y - 8z + 26 = 0

b) 直線 A1A2 の方程式を作成しましょう。

直線A1A2の方向ベクトル：

A1A2 = (-4; 1; -1)

直線の方程式:

x = 3 - 4t、y = -1 + t、z = 2 - t、t ∈ R

c) 平面 A1A2A3 に垂直な直線 A4M の方程式を作成しましょう。

平面 A1A2A3 の法線ベクトル:

n = (-4; 1; -8)

方向ベクトル A4M:

-4M = (x - 8; y - 5; z - 8)

直角度条件：

n * A4M = 0

-4(x - 8) + 1(y - 5) - 8(z - 8) = 0

直線 A4M の方程式:

x = 8 + 2t、y = 5 - t、z = 8 + 0.5t、t ∈ R

d) 直線 A1A2 に平行な直線 A3N の方程式を作成してみましょう。

直線A1A2の方向ベクトル：

A1A2 = (-4; 1; -1)

直線 A3N の方程式:

x = 1 + (-4)t、y = 7 + t、z = 3 - t、t ∈ R

e) 点 A4 を通り、直線 A1A2 に垂直な平面の方程式を作成してみましょう。

直線A1A2の方向ベクトル：

A1A2 = (-4; 1; -1)

法線ベクトル:

n = (-4; 1; -1)

平面方程式:

-4x + y - z + d = 0

d を見つけるには、点 A4 の座標を代入します。

-4 * 8 + 5 - 8 + d = 0

d = 27

平面方程式:

-4x + y - z + 27 = 0

f) 直線 A1A4 と平面 A1A2A3 の間の角度の正弦を求めます。

方向ベクトル直線 A1A4:

A1A4 = (5; 6; 6)

平面 A1A2A3 の法線ベクトル:

n = (-4; 1; -8)

ベクトル間の角度の正弦:

sin θ = |[А1А4, n]| / |А1А4| * |n|

sin θ = |(48; 38; 29)| / √(5^2 + 6^2 + 6^2) * √(16 + 1 + 64)

sinθ = 115 / √24545

g) 座標平面 Oxy と平面 A1A2A3 の間の角度の余弦を見つけてみましょう。

Oxy 座標平面の法線ベクトル:

n = (0; 0; 1)

平面 A1A2A3 の法線ベクトル:

n = (-4; 1; -8)

ベクトル間の角度の余弦:

cosθ = |n1 * n2| / |n1| * |n2|

cosθ = |-8| / √(16 + 1 + 64) * √1

cosθ = -8 / √81

№2.2

線分 M1M2 の中央を通過し、この線分に垂直な平面の方程式を作成しましょう。 if M1(1;5;6); M2(-1;7;10)。

セグメント M1M2 の方向ベクトル:

M1M2 = (-2; 2; 4)

セグメント M1M2 の中央の座標:

Mm = ((1 + (-1)) / 2; (5 + 7) / 2; (6 + 10) / 2) = (0; 6; 8)

目的の平面の法線ベクトル:

n = M1M2 = (-2; 2; 4)

平面方程式:

-2x + 2y + 4z + d = 0

d を見つけるには、点 Mm の座標を代入します。

-2 * 0 + 2 * 6 + 4 * 8 + d = 0

d = -44

平面方程式:

-2x + 2y + 4z - 44 = 0

№3.2

線 ...... が平面 2x + y – z = 0 に平行であることを証明します。そして直線....はこの平面内にあります。

提起された質問に対する答えを与えることができるように、問題文に行に関する情報を補足する必要があります。条件をご指定ください。

製品説明 - バリアント 2 IDZ 3.1

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製品の説明を紹介します。

IDZ 3.1 は 3 つの数字で構成される数学タスクです。

最初の問題では、空間内の 4 つの点の座標が与えられます。これらの点のうち 3 つを通過する平面、これらの点のうち 2 つを通過する直線、およびこれらの点の 1 つを通過し、その直線に垂直な平面に関する方程式を書く必要があります。また、特定の線と平面の間の角度のサインとコサインを見つける必要もあります。

2 番目の問題では、セグメントの中央を通過し、このセグメントに垂直な平面の方程式を作成する必要があります。その座標も指定されています。

3 番目の問題では、1 つの線が特定の平面に平行であり、もう 1 つの線がこの平面内にあることを証明する必要があります。これを行うには、線と平面の平行度、および点の座標がこの平面の方程式を満たす場合、その点は平面に属するという事実に関する知識を使用する必要があります。

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