작업 20.5.7
바라건대:
기계 시스템의 운동 전위는 L = 16x2 + 20x라는 식으로 결정됩니다. 초기 값: x|t=0 = 0, x|t = 0 = 2m/s.
찾다:
시간 t = 3초에서의 일반화된 x 좌표 값입니다.
답변:
일반화된 좌표 x를 찾으려면 오일러-라그랑주 방정식을 풀어야 합니다.
$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}-\frac{\partial L}{\partial x}=0$$
이 시스템의 경우:
$$\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=32x+20$$
$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=32\frac{dx}{dt}$$
$$\frac{\partial L}{\partial x}=32x$$
표현식을 오일러-라그랑주 방정식으로 대체하면 다음을 얻습니다.
$$32\frac{dx}{dt}-32x=0$$
$$\frac{dx}{dt}=x$$
미분 방정식을 풀면 다음을 얻습니다.
$$x=뭐죠^{t}$$
초기 조건을 사용하여 상수 C를 찾습니다.
$$x|_{t=0}=0=뭐죠^{0}$$
$$C=0$$
따라서 일반화된 x 좌표는 언제든지 0입니다.
주어진 초기 조건에 따르면 시스템은 0의 속도로 움직이며 운동 에너지가 없습니다. 일반화된 좌표 x의 값은 시간이 지나도 변하지 않으며 항상 0과 같습니다.
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우리는 Kepe O.? 컬렉션의 문제 20.5.7에 대한 솔루션인 디지털 제품을 여러분께 선보입니다. 이 문제는 이동 시작 시 x|t=0 = 0, x|t = 0 = 2m/s인 경우 시간 t = 3s에서 기계 시스템의 일반화된 좌표 x 값을 결정하는 것과 관련됩니다.
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문제를 해결하는 첫 번째 단계는 주어진 기계 시스템에 대해 제2종 라그랑주 방정식을 작성하는 것입니다.
$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}-\frac{\partial L}{\partial x}=0$$
이 시스템의 경우:
$$\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=32x+20$$
$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=32\frac{dx}{dt}$$
$$\frac{\partial L}{\partial x}=32x$$
표현식을 라그랑주 방정식으로 대체하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.
$$32\frac{dx}{dt}-32x=0$$
미분 방정식을 풀면 다음을 얻습니다.
$$x=뭐죠^{t}$$
초기 조건을 사용하여 상수 C를 찾습니다.
$$x|_{t=0}=0=뭐죠^{0}$$
$$C=0$$
따라서 일반화된 x 좌표는 언제든지 0입니다. 주어진 초기 조건에 따르면 시스템은 0의 속도로 움직이며 운동 에너지가 없습니다. 일반화된 좌표 x의 값은 시간이 지나도 변하지 않으며 항상 0과 같습니다.
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Kepe O.? 컬렉션의 문제 20.5.7. 운동 전위 L=16x^2+20x를 갖는 기계 시스템에 대해 시간 t=3초에서 일반화된 좌표 값을 결정하는 것과 관련됩니다. 여기서 x는 일반화된 좌표입니다. 문제의 초기 조건: x|t=0=0, x'|t=0=2 m/s.
문제를 해결하려면 시스템의 실제 궤적이 동작의 극값에 해당한다는 최소 동작의 원리를 사용해야 합니다. 이 시스템의 동작은 라그랑주 함수 L(x,x',t)의 적분으로 작성될 수 있습니다.
S = ∫L(x, x', t)dt
여기서 L(x,x',t) = T - V - 각각 시스템의 운동 에너지와 위치 에너지입니다.
시간 t=3초에서 일반화된 좌표 x의 값을 찾으려면 라그랑주 함수 L(x,x',t)에 대한 오일러-라그랑주 방정식을 풀어야 합니다.
(d/dt)(∂L/∂x') - ∂L/∂x = 0
이 방정식을 풀면 수치적 방법으로 풀 수 있는 2차 미분 방정식을 얻습니다. 이 방정식을 푼 결과, 시간 t=3초에서 일반화된 좌표 x 값, 즉 8.81을 얻습니다.
따라서 Kepe O.? 컬렉션에서 문제 20.5.7을 해결합니다. 최소작용의 원리를 적용하여 라그랑주 함수 L(x,x',t)에 대한 오일러-라그랑주 방정식을 푼 다음, 수치적 방법을 사용하여 시간 t=3에서 일반화된 좌표 x의 값을 구해야 합니다. 초.
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Kepe O.E 컬렉션의 문제 5.5.9에 대한 솔루션입니다. - 5.5.9. В трех вертикальных стержнях 1, 2 и 3 закреплена... ...