IDZ Ryabushko 2.2 Opzione 12

N. 1 Dati i vettori a(-4;3;-7), b(4;6;-2), c(6;9;-3). Necessario:

a) Calcolare il prodotto misto di tre vettori. Per calcolare il prodotto misto è necessario calcolare il determinante di una matrice composta dalle coordinate di tre vettori: a x b · c = | -4 3 -7 | | 4 6 -2 | | 6 9 -3 | = (-228; 6; 0)

b) Trovare il modulo del prodotto vettoriale. Per trovare il modulo di un prodotto vettoriale, è necessario calcolare la lunghezza del vettore ottenuto come risultato del prodotto vettoriale di due vettori: |a x b| = |(-9; -38; 30)| = quadrato(9^2 + 38^2 + 30^2) ≈ 40,24

c) Calcolare il prodotto scalare di due vettori. Per calcolare il prodotto scalare è necessario moltiplicare le coordinate corrispondenti dei vettori e sommare i prodotti risultanti: a · b = (-44) + (36) + (-7*-2) = 8 + 18 + 14 = 40

d) Verifica se due vettori sono collineari o ortogonali. Due vettori diversi da zero sono collineari se uno è multiplo dell'altro. Due vettori diversi da zero sono ortogonali se il loro prodotto scalare è zero. Calcoliamo il prodotto scalare dei vettori aeb: a · b = 40 Poiché il prodotto scalare è diverso da zero, i vettori aeb non sono ortogonali. Calcoliamo il prodotto vettoriale dei vettori aeb: a x b = (-9; -38; 30) Se il prodotto vettoriale è zero, i vettori sono collineari. Poiché il prodotto vettoriale è diverso da zero, i vettori a e b non sono collineari.

e) Verificare se i tre vettori sono complanari. Tre vettori sono complanari se giacciono sullo stesso piano. Per verificare questa condizione è necessario calcolare il prodotto misto di tre vettori. Vedi la risposta alla domanda a). Se il prodotto misto è zero, allora i vettori sono complanari. Il prodotto misto dei vettori a, b e c non è uguale a zero, il che significa che questi vettori non giacciono sullo stesso piano.

N. 2 I vertici della piramide si trovano nei punti A(7;4;9), B(1;-2;-3), C(-5;-3;0), D(1;-3; 4).

N. 3 La forza F(2;2;9) viene applicata al punto A(4;2;-3). Necessario:

a) Calcolare il lavoro compiuto dalla forza F nel caso in cui il punto della sua applicazione, muovendosi rettilineamente, si sposta nel punto B(2;4;0). Il lavoro compiuto dalla forza F spostando il punto della sua applicazione mediante il vettore d è uguale al prodotto scalare del vettore forza e del vettore spostamento: A = (4;2;-3), B = (2;4;0 ), F = (2;2;9) , d = B - A = (-2;2;3) W = F d = (2*-2) + (22) + (93) = 23

b) Calcolare il modulo del momento della forza F relativo al punto B. Il momento della forza è uguale al prodotto del prodotto vettoriale del raggio vettore e del vettore forza per il modulo del raggio vettore: r = B - A = (-2;2;3), |r| = quadrato((-2)^2 + 2^2 + 3^2) = quadrato(17) M = |r x F| = |(2;-2;3) x (2;2;9)| = |(-24;-6;8)| = quadrato(24^2 + 6^2 + 8^2) ≈ 25,46

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IDZ Ryabushko 2.2 L'opzione 12 è un compito di algebra lineare, che consiste di tre numeri.

N. 1. In questa attività è necessario eseguire diverse operazioni con i vettori. Dati tre vettori a(-4;3;-7), b(4;6;-2), c(6;9;-3). È necessario calcolare il prodotto misto di tre vettori, trovare il modulo del prodotto vettoriale dei vettori a e b, calcolare il prodotto scalare dei vettori a e c, verificare se i vettori a e b sono collineari o ortogonali, verificare se tre vettori a, b e c sono complanari.

N. 2. In questo compito devi lavorare con i vertici della piramide, definiti dai punti A(7;4;9), B(1;-2;-3), C(-5;-3;0) e D( 1;-3;4). È necessario trovare il volume della piramide definita da questi punti e l'area della sua superficie laterale.

Numero 3. In questo compito, è necessario calcolare il lavoro compiuto dalla forza e il modulo del momento rispetto al punto B. Vengono forniti i punti A(4;2;-3) e B(2;4;0), nonché la forza F(2;2;9) applicata al punto A. È necessario calcolare il lavoro compiuto dalla forza F se il punto della sua applicazione si sposta dal punto A al punto B, muovendosi in linea retta, nonché il modulo del momento della forza F relativo al punto B.

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