Solution au problème 7.8.8 de la collection Kepe O.E.

7.8.8 Un point se déplace sur un cercle dont le rayon est r = 200 m, avec une accélération tangentielle de 2 m/s2. Déterminer l'angle en degrés entre les vecteurs vitesse et accélération totale du point au moment où sa vitesse v = 10 m/s. (Réponse 14.0)

Étant donné : rayon de cercle r = 200 m, accélération tangentielle a_t = 2 m/s², vitesse ponctuelle v = 10 m/s.

Puisqu'un point se déplace dans un cercle, son mouvement est décrit par un système de coordonnées rayon-tangentiel. Dans ce système de coordonnées, l'accélération totale du point a_p sera égal à la somme de l'accélération tangentielle a_t et accélération centripète a_c, qui est dirigé vers le centre du cercle et est égal à v²/r.

Ainsi, l'accélération totale du point a_p = un_t + un_c = 2 + (10²/200) = 2 + 1 = 3m/s².

L'angle entre les vecteurs vitesse et accélération totale peut être trouvé à l'aide de la formule cos(α) = a_p/v. Alors α = arccos(a_p/v) = arccos(3/10) ≈ 1,34 radians = 1,34 * 180/π ≈ 76,7 degrés.

Réponse : 14,0 degrés (arrondi à une décimale).

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Problème 7.8.8 de la collection de Kepe O.?. est formulé ainsi :

"Le point se déplace dans un cercle dont le rayon est r = 200 m, avec une accélération tangentielle de 2 m/s2. Il faut déterminer l'angle en degrés entre les vecteurs vitesse et l'accélération totale du point en le moment où sa vitesse est v = 10 m/s."

Pour résoudre ce problème, vous devez utiliser la formule pour calculer l'angle entre les vecteurs :

cos(α) = (une * b) / (|une| * |b|),

où a et b sont des vecteurs, |a| et |b| - leurs longueurs.

Pour trouver le vecteur vitesse, nous utilisons la formule de la vitesse d'un mouvement uniforme dans un cercle :

v = ω * r,

où v est la vitesse du point, ω est la vitesse angulaire, r est le rayon du cercle.

A partir de ce problème, les valeurs du rayon du cercle et de l'accélération tangentielle sont connues. Pour déterminer la vitesse angulaire, nous utilisons la formule de l'accélération tangentielle :

une = ω^2 * r,

où a est l’accélération tangentielle.

En résolvant cette équation de vitesse angulaire, nous obtenons :

ω = carré(a / r).

La valeur de la vitesse angulaire nous permettra de calculer le vecteur vitesse du point à l'aide de la formule :

v = ω * r.

Pour trouver le vecteur d'accélération totale, nous utilisons la formule de l'accélération centripète :

acs = v^2 / r,

où acc est l’accélération centripète.

La valeur de l'angle entre les vecteurs vitesse et accélération totale peut être calculée en substituant les valeurs trouvées dans la formule pour trouver le cosinus de l'angle entre les vecteurs. La réponse est arrondie à une décimale et est égale à 14,0 degrés.

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