Dans le problème, il y a un bloc d'engrenages d'une masse de 0,3 kg et d'un rayon de giration ρ = 0,1 m, qui tourne autour de l'axe Oz, obéissant à la loi de rotation φ = 25t^2. Il est nécessaire de déterminer le moment d'inertie principal du bloc par rapport à l'axe Oz.
Pour résoudre ce problème, nous utilisons la formule du moment d'inertie principal :
Je = ρ^2 * m
où I est le moment d'inertie principal, ρ est le rayon d'inertie, m est la masse.
Tout d’abord, trouvons la vitesse angulaire instantanée du réducteur. Pour ce faire, on différencie l'équation φ = 25t^2 par rapport au temps :
ω = dφ/dt = 50t
Ensuite, on retrouve la valeur instantanée du moment d'inertie principal du bloc à l'aide de la formule :
L = je * ω
et intégrez-le au fil du temps de 0 à t :
∫L dt = ∫I ω dt = ∫ρ^2 * m * 50t dt = 25ρ^2 * m * t^2
Ainsi, le moment d'inertie principal du bloc par rapport à l'axe Oz est égal à -0,15 Nm (la réponse est donnée dans l'énoncé du problème).
Nous vous présentons un produit numérique - une solution au problème 17.2.6 de la collection de Kepe O.?. Ce produit est destiné à ceux qui étudient à l'école ou à l'université et souhaitent réussir leurs devoirs de physique.
Notre solution comprend une description détaillée du problème, ainsi qu'un algorithme étape par étape pour le résoudre. Vous pouvez facilement comprendre les principes de résolution de ce problème et les appliquer pour résoudre des problèmes similaires.
Chaque étape de la solution est accompagnée d'explications et de formules, ce qui permet de comprendre clairement quelles actions ont été réalisées et pourquoi.
Notre produit numérique a un beau design HTML, ce qui le rend pratique et agréable à utiliser. Vous pouvez facilement l'ouvrir sur n'importe quel appareil, y compris un ordinateur, une tablette ou un smartphone, et étudier facilement le matériel à tout moment et en tout lieu.
En achetant notre produit numérique, vous avez accès à une solution de haute qualité au problème 17.2.6 de la collection de Kepe O.?. et augmentez votre niveau de connaissances en physique.
Nous vous présentons un produit numérique - une solution au problème 17.2.6 de la collection de Kepe O.?. Cette tâche en physique consiste à déterminer le moment d'inertie principal du réducteur par rapport à l'axe Oz. Dans notre solution au problème, nous décrivons en détail chaque étape de l’algorithme et expliquons comment nous sommes arrivés à la réponse.
Pour commencer à résoudre le problème, nous trouvons la vitesse angulaire instantanée du bloc d'engrenages en différenciant l'équation φ = 25t^2 par rapport au temps. On trouve ensuite la valeur instantanée du moment d'inertie principal du bloc à l'aide de la formule L = I * ω et l'intégrons dans le temps de 0 à t.
En utilisant la formule du moment d'inertie principal I = ρ^2 * m, où ρ est le rayon d'inertie, m est la masse, on trouve le moment d'inertie principal du bloc par rapport à l'axe Oz, qui est égal à -0,15 Nm (la réponse est donnée dans l'énoncé du problème).
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Solution au problème 17.2.6 de la collection de Kepe O.?. consiste à déterminer le moment d'inertie principal du réducteur par rapport à l'axe Oz.
D'après les conditions problématiques, on sait que le bloc d'engrenages a une masse de 0,3 kg et un rayon de giration ρ = 0,1 m, et tourne également par rapport à l'axe Oz selon la loi φ = 25t^2.
Pour déterminer le moment d'inertie principal du bloc par rapport à l'axe Oz, vous devez utiliser la formule :
Je = ∫r^2 dm,
où I est le moment d'inertie principal, r est la distance entre le point où se trouve l'élément de masse dm et l'axe de rotation, dm est l'élément de masse.
Considérons un engrenage comme un système composite de plusieurs éléments de masse dm. Alors le moment d'inertie principal du bloc peut être défini comme la somme des moments d'inertie de tous les éléments :
Je = ∫r^2 dm = ∫ρ^2 sin^2(φ) dφ dm,
où φ est l'angle entre l'axe Oz et la direction vers l'élément dm.
Le bloc d'engrenage ayant la forme d'un anneau, on peut supposer que tous les éléments dm sont répartis uniformément dans tout son volume. On peut alors remplacer l'intégrale sur dm par l'intégrale sur le volume de l'anneau :
I = ∫ρ^2 sin^2(φ) dφ dm = ∫ρ^2 sin^2(φ) dV,
où dV est l'élément de volume de l'anneau.
Pour déterminer l'élément de volume de l'anneau, vous pouvez utiliser la formule du volume d'une coque fine :
dV = 2πr drdh,
où r est le rayon de l'anneau, h est l'épaisseur de l'anneau.
Puisque dans ce problème le rayon de giration du bloc d'engrenage est de 0,1 m, on peut supposer que l'épaisseur de la bague est nulle. Alors l’élément de volume peut s’écrire :
dV = 2pr dr.
En intégrant cette expression sur le rayon r de 0 à ρ, on obtient le volume total de l'anneau :
V = ∫0^ρ 2pr dr = pr^2.
Ainsi, le moment d'inertie principal du réducteur par rapport à l'axe Oz peut être calculé à l'aide de la formule :
I = ∫ρ^2 sin^2(φ) dV = ∫ρ^2 sin^2(φ) 2π dρ = 2πρ^4/4 = πρ^4/2.
En substituant les valeurs de masse et de rayon de giration du bloc, on obtient :
Je = π(0,1)^4/2 = 0,0001571 kg m^2.
Puisque le bloc tourne selon la loi φ = 25t^2, son accélération angulaire peut être trouvée comme :
α = d^2φ/dt^2 = 50.
Ensuite, le moment d'inertie principal du bloc peut être calculé à l'aide de la formule :
M = Iα = 0,0001571 kg m^2 * 50 rad/s^2 = -0,007855 N·m.
Réponse : le moment d'inertie principal du réducteur par rapport à l'axe Oz est égal à -0,007855 Nm (arrondi à trois décimales).
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