En el problema hay un bloque de engranajes con una masa de 0,3 kg y un radio de giro ρ = 0,1 m, que gira alrededor del eje Oz, obedeciendo la ley de rotación φ = 25t^2. Es necesario determinar el momento de inercia principal del bloque con respecto al eje Oz.
Para resolver este problema utilizamos la fórmula del momento de inercia principal:
Yo = ρ^2 * m
donde I es el momento de inercia principal, ρ es el radio de inercia, m es la masa.
Primero, encontremos la velocidad angular instantánea del bloque de engranajes. Para ello derivamos la ecuación φ = 25t^2 con respecto al tiempo:
ω = dφ/dt = 50t
A continuación, encontramos el valor instantáneo del momento de inercia principal del bloque mediante la fórmula:
L = yo * ω
e integrarlo en el tiempo de 0 a t:
∫L dt = ∫I ω dt = ∫ρ^2 * m * 50t dt = 25ρ^2 * m * t^2
Por tanto, el principal momento de inercia del bloque con respecto al eje Oz es igual a -0,15 Nm (la respuesta se da en el planteamiento del problema).
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Nuestra solución incluye una descripción detallada del problema, así como un algoritmo paso a paso para resolverlo. Puede comprender fácilmente los principios para resolver este problema y aplicarlos para resolver problemas similares.
Cada etapa de la solución va acompañada de explicaciones y fórmulas, lo que permite comprender claramente qué acciones se realizaron y por qué.
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Les presentamos un producto digital: una solución al problema 17.2.6 de la colección de Kepe O.?. Esta tarea en física es determinar el momento de inercia principal del bloque de engranajes con respecto al eje Oz. En nuestra solución al problema, describimos en detalle cada paso del algoritmo y explicamos cómo llegamos a la respuesta.
Para comenzar a resolver el problema, encontramos la velocidad angular instantánea del bloque de engranajes derivando la ecuación φ = 25t^2 con respecto al tiempo. Luego encontramos el valor instantáneo del momento de inercia principal del bloque usando la fórmula L = I * ω y lo integramos en el tiempo de 0 a t.
Usando la fórmula para el momento de inercia principal I = ρ^2 * m, donde ρ es el radio de inercia, m es la masa, encontramos el momento de inercia principal del bloque con respecto al eje Oz, que es igual a -0,15 Nm (la respuesta se da en el planteamiento del problema).
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Solución al problema 17.2.6 de la colección de Kepe O.?. Consiste en determinar el momento de inercia principal del bloque de engranajes con respecto al eje Oz.
De las condiciones del problema se sabe que el bloque de engranajes tiene una masa de 0,3 kg y un radio de giro ρ = 0,1 m, y también gira con respecto al eje Oz según la ley φ = 25t^2.
Para determinar el momento de inercia principal del bloque con respecto al eje Oz, se debe utilizar la fórmula:
Yo = ∫r^2 dm,
donde I es el momento de inercia principal, r es la distancia desde el punto en el que se encuentra el elemento de masa dm hasta el eje de rotación, dm es el elemento de masa.
Consideremos un bloque de engranajes como un sistema compuesto de muchos de estos elementos de masa dm. Entonces el momento de inercia principal del bloque se puede definir como la suma de los momentos de inercia de todos los elementos:
I = ∫r^2 dm = ∫ρ^2 sin^2(φ) dφ dm,
donde φ es el ángulo entre el eje Oz y la dirección al elemento dm.
Dado que el bloque de engranajes tiene forma de anillo, podemos suponer que todos los elementos dm están distribuidos uniformemente en todo su volumen. Entonces podemos reemplazar la integral sobre dm con la integral sobre el volumen del anillo:
I = ∫ρ^2 sin^2(φ) dφ dm = ∫ρ^2 sin^2(φ) dV,
donde dV es el elemento de volumen del anillo.
Para determinar el elemento de volumen de un anillo, puede utilizar la fórmula para el volumen de una capa delgada:
dV = 2πr dr dh,
donde r es el radio del anillo, h es el espesor del anillo.
Como en este problema el radio de giro del bloque de engranajes es de 0,1 m, podemos suponer que el espesor del anillo es cero. Entonces el elemento de volumen se puede escribir como:
dV = 2pr dr.
Integrando esta expresión sobre el radio r de 0 a ρ, obtenemos el volumen total del anillo:
V = ∫0^ρ 2pr dr = pr^2.
Por tanto, el momento de inercia principal del bloque de engranajes con respecto al eje Oz se puede calcular mediante la fórmula:
I = ∫ρ^2 sin^2(φ) dV = ∫ρ^2 sin^2(φ) 2π dρ = 2πρ^4/4 = πρ^4/2.
Sustituyendo los valores de masa y radio de giro del bloque, obtenemos:
Yo = π(0,1)^4/2 = 0,0001571 kg m^2.
Dado que el bloque gira según la ley φ = 25t^2, su aceleración angular se puede encontrar como:
α = d^2φ/dt^2 = 50.
Entonces el momento de inercia principal del bloque se puede calcular mediante la fórmula:
M = Iα = 0,0001571 kg m^2 * 50 rad/s^2 = -0,007855 N·m.
Respuesta: el momento de inercia principal del bloque de engranajes con respecto al eje Oz es igual a -0,007855 Nm (redondeado a tres decimales).
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