Nel problema c'è un blocco di ingranaggi con massa 0,3 kg e raggio di rotazione ρ = 0,1 m, che ruota attorno all'asse Oz, obbedendo alla legge di rotazione φ = 25t^2. È necessario determinare il momento di inerzia principale del blocco rispetto all'asse Oz.
Per risolvere questo problema, utilizziamo la formula per il momento di inerzia principale:
Io = ρ^2 * m
dove I è il momento d'inerzia principale, ρ è il raggio d'inerzia, m è la massa.
Innanzitutto, troviamo la velocità angolare istantanea del blocco ingranaggi. Per fare ciò, differenziamo l'equazione φ = 25t^2 rispetto al tempo:
ω = dφ/dt = 50t
Successivamente, troviamo il valore istantaneo del momento di inerzia principale del blocco utilizzando la formula:
L = I*ω
e integrarlo nel tempo da 0 a t:
∫L dt = ∫I ω dt = ∫ρ^2 * m * 50t dt = 25ρ^2 * m * t^2
Pertanto, il momento di inerzia principale del blocco rispetto all'asse Oz è pari a -0,15 Nm (la risposta è fornita nella formulazione del problema).
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La nostra soluzione include una descrizione dettagliata del problema, nonché un algoritmo passo passo per risolverlo. Puoi facilmente comprendere i principi per risolvere questo problema e applicarli per risolvere problemi simili.
Ogni fase della soluzione è accompagnata da spiegazioni e formule, che consentono di comprendere chiaramente quali azioni sono state eseguite e perché.
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Vi presentiamo un prodotto digitale: una soluzione al problema 17.2.6 dalla collezione di Kepe O.?. Questo compito in fisica è determinare il momento di inerzia principale del blocco ingranaggi rispetto all'asse Oz. Nella nostra soluzione al problema, descriviamo in dettaglio ogni passaggio dell'algoritmo e spieghiamo come siamo arrivati alla risposta.
Per iniziare a risolvere il problema, troviamo la velocità angolare istantanea del blocco ingranaggi differenziando l'equazione φ = 25t^2 rispetto al tempo. Quindi troviamo il valore istantaneo del momento d'inerzia principale del blocco utilizzando la formula L = I * ω e lo integriamo nel tempo da 0 a t.
Utilizzando la formula per il momento di inerzia principale I = ρ^2 * m, dove ρ è il raggio di inerzia, m è la massa, troviamo il momento di inerzia principale del blocco rispetto all'asse Oz, che è uguale a -0,15 Nm (la risposta è data nella dichiarazione del problema).
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Soluzione al problema 17.2.6 dalla collezione di Kepe O.?. consiste nel determinare il momento di inerzia principale del blocco ingranaggi rispetto all'asse Oz.
Dalle condizioni del problema si sa che il blocco ingranaggi ha una massa di 0,3 kg e un raggio di rotazione ρ = 0,1 m, e ruota anche rispetto all'asse Oz secondo la legge φ = 25t^2.
Per determinare il momento d'inerzia principale del blocco rispetto all'asse Oz, è necessario utilizzare la formula:
Io = ∫r^2 dm,
dove I è il momento d'inerzia principale, r è la distanza dal punto in cui si trova l'elemento massa dm all'asse di rotazione, dm è l'elemento massa.
Consideriamo un blocco ingranaggi come un sistema composito di molti di questi elementi di massa dm. Quindi il momento d'inerzia principale del blocco può essere definito come la somma dei momenti d'inerzia di tutti gli elementi:
I = ∫r^2 dm = ∫ρ^2 sin^2(φ) dφ dm,
dove φ è l'angolo tra l'asse Oz e la direzione dell'elemento dm.
Poiché il blocco ingranaggi ha la forma di un anello, possiamo supporre che tutti gli elementi dm siano distribuiti uniformemente in tutto il suo volume. Quindi possiamo sostituire l'integrale su dm con l'integrale sul volume dell'anello:
I = ∫ρ^2 sin^2(φ) dφ dm = ∫ρ^2 sin^2(φ) dV,
dove dV è l'elemento di volume dell'anello.
Per determinare l'elemento volume dell'anello, puoi utilizzare la formula per il volume di un guscio sottile:
dV = 2πr dr dh,
dove r è il raggio dell'anello, h è lo spessore dell'anello.
Poiché in questo problema il raggio di rotazione del blocco ingranaggi è 0,1 m, possiamo assumere che lo spessore dell'anello sia zero. Quindi l'elemento volume può essere scritto come:
dV = 2pr dr.
Integrando questa espressione sul raggio r da 0 a ρ, otteniamo il volume totale dell'anello:
V = ∫0^ρ2pr dr = pr^2.
Pertanto, il momento di inerzia principale del blocco ingranaggi rispetto all'asse Oz può essere calcolato utilizzando la formula:
I = ∫ρ^2 sin^2(φ) dV = ∫ρ^2 sin^2(φ) 2π dρ = 2πρ^4/4 = πρ^4/2.
Sostituendo i valori di massa e raggio di rotazione del blocco, otteniamo:
Io = π(0,1)^4/2 = 0,0001571 kg·m^2.
Poiché il blocco ruota secondo la legge φ = 25t^2, la sua accelerazione angolare può essere trovata come:
α = d^2φ/dt^2 = 50.
Quindi il momento d'inerzia principale del blocco può essere calcolato utilizzando la formula:
M = Iα = 0,0001571 kg m^2 * 50 rad/s^2 = -0,007855 N m.
Risposta: il momento d'inerzia principale del blocco ingranaggi rispetto all'asse Oz è pari a -0,007855 Nm (arrotondato a tre cifre decimali).
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