Kepe O.E 收集的问题 17.2.6 的解决方案

问题中有一个质量为 0.3 kg、回转半径 ρ = 0.1 m 的齿轮绕 Oz 轴旋转，遵循旋转定律 φ = 25t^2。有必要确定块相对于 Oz 轴的主惯性矩。

为了解决这个问题，我们使用主转动惯量的公式：

I = ρ^2 * m

其中 I 是主转动惯量，ρ 是转动惯量半径，m 是质量。

首先，我们求出齿轮组的瞬时角速度。为此，我们对方程 φ = 25t^2 对时间进行微分：

ω = dφ/dt = 50t

接下来，我们使用以下公式找到块的主转动惯量的瞬时值：

L = I * ω

并对从 0 到 t 的时间进行积分：

∫L dt = ∫I ω dt = ∫ρ^2 * m * 50t dt = 25ρ^2 * m * t^2

因此，块相对于 Oz 轴的主惯性矩等于 -0.15 Nm（答案在问题陈述中给出）。

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解决方案的每个阶段都附有解释和公式，使您可以清楚地了解执行了哪些操作以及原因。

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为了开始解决这个问题，我们通过对方程 φ = 25t^2 对时间进行微分来找到齿轮组的瞬时角速度。然后，我们使用公式 L = I * ω 求出块的主转动惯量的瞬时值，并将其从 0 到 t 的时间进行积分。

利用主转动惯量公式 I = ρ^2 * m，其中 ρ 是转动惯量半径，m 是质量，我们求出物块相对于 Oz 轴的主转动惯量，等于-0.15 Nm（答案在问题陈述中给出）。

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Kepe O.? 收集的问题 17.2.6 的解决方案。在于确定齿轮组相对于 Oz 轴的主惯性矩。

由问题条件可知，齿轮组的质量为0.3 kg，回转半径ρ = 0.1 m，并且根据定律φ = 25t^2相对于Oz轴旋转。

要确定块相对于 Oz 轴的主惯性矩，必须使用以下公式：

I = ∫r^2 dm，

式中，I为主转动惯量，r为质量元素dm所在点到旋转轴的距离，dm为质量元素。

让我们将齿轮组视为由许多质量为 dm 的此类元件组成的复合系统。那么块的主转动惯量可以定义为所有单元转动惯量之和：

I = ∫r^2 dm = ∫ρ^2 sin^2(φ) dφ dm,

其中 φ 是 Oz 轴与单元 dm 方向之间的角度。

由于齿轮组具有环形形状，我们可以假设所有元素 dm 均匀分布在其整个体积中。然后我们可以将 dm 上的积分替换为环体积上的积分：

I = ∫ρ^2 sin^2(φ) dφ dm = ∫ρ^2 sin^2(φ) dV,

其中 dV 是环的体积元素。

要确定环的体积元素，可以使用薄壳体积的公式：

dV = 2πr dr dh,

其中r是环的半径，h是环的厚度。

由于在此问题中齿轮组的回转半径为 0.1 m，因此我们可以假设环的厚度为零。那么体积元素可以写为：

dV = 2pr 博士。

将此表达式在从 0 到 ρ 的半径 r 上积分，我们得到环的总体积：

V = ∫0^ρ 2pr dr = pr^2。

因此，齿轮组相对于 Oz 轴的主惯性矩可以使用以下公式计算：

I = ∫ρ^2 sin^2(φ) dV = ∫ρ^2 sin^2(φ) 2π dρ = 2πρ^4/4 = πρ^4/2。

代入木块的质量和回转半径的值，我们得到：

I = π(0.1)^4/2 = 0.0001571 kg m^2。

由于木块按照 φ = 25t^2 定律旋转，因此其角加速度可计算为：

α = d^2φ/dt^2 = 50。

然后可以使用以下公式计算块的主转动惯量：

M = Iα = 0.0001571 kg m^2 * 50 rad/s^2 = -0.007855 N m。

答：齿轮组相对于Oz轴的主转动惯量等于-0.007855 Nm（四舍五入到小数点后三位）。

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