Solução para o problema 17.2.6 da coleção de Kepe O.E.

No problema existe um bloco de engrenagens com massa de 0,3 kg e raio de giração ρ = 0,1 m, que gira em torno do eixo Oz, obedecendo à lei de rotação φ = 25t^2. É necessário determinar o principal momento de inércia do bloco em relação ao eixo Oz.

Para resolver este problema, usamos a fórmula do momento de inércia principal:

Eu = ρ ^ 2 * m

onde I é o principal momento de inércia, ρ é o raio de inércia, m é a massa.

Primeiro, vamos encontrar a velocidade angular instantânea do bloco de engrenagens. Para fazer isso, diferenciamos a equação φ = 25t^2 em relação ao tempo:

ω = dφ/dt = 50t

A seguir, encontramos o valor instantâneo do momento de inércia principal do bloco usando a fórmula:

Eu = eu * ω

e integre-o ao longo do tempo de 0 a t:

∫L dt = ∫I ω dt = ∫ρ^2 * m * 50t dt = 25ρ^2 * m * t^2

Assim, o principal momento de inércia do bloco em relação ao eixo Oz é igual a -0,15 Nm (a resposta é dada no enunciado do problema).

Solução do problema 17.2.6 da coleção de Kepe O.?.

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Apresentamos a vocês um produto digital - uma solução para o problema 17.2.6 da coleção de Kepe O.?. Esta tarefa em física é determinar o principal momento de inércia do bloco de engrenagens em relação ao eixo Oz. Em nossa solução do problema, descrevemos detalhadamente cada etapa do algoritmo e explicamos como chegamos à resposta.

Para começar a resolver o problema, encontramos a velocidade angular instantânea do bloco de engrenagens diferenciando a equação φ = 25t ^ 2 em relação ao tempo. Em seguida, encontramos o valor instantâneo do momento de inércia principal do bloco usando a fórmula L = I * ω e integramos ao longo do tempo de 0 a t.

Usando a fórmula do momento de inércia principal I = ρ^2 * m, onde ρ é o raio de inércia, m é a massa, encontramos o momento de inércia principal do bloco em relação ao eixo Oz, que é igual a -0,15 Nm (a resposta é dada na definição do problema).

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Solução do problema 17.2.6 da coleção de Kepe O.?. consiste em determinar o momento principal de inércia do bloco de engrenagens em relação ao eixo Oz.

Pelas condições do problema sabe-se que o bloco de engrenagens tem massa de 0,3 kg e raio de giração ρ = 0,1 m, e também gira em relação ao eixo Oz de acordo com a lei φ = 25t ^ 2.

Para determinar o principal momento de inércia do bloco em relação ao eixo Oz, deve-se utilizar a fórmula:

Eu = ∫r^2dm,

onde I é o principal momento de inércia, r é a distância do ponto em que o elemento de massa dm está localizado até o eixo de rotação, dm é o elemento de massa.

Consideremos um bloco de engrenagens como um sistema composto de muitos desses elementos de massa dm. Então o principal momento de inércia do bloco pode ser definido como a soma dos momentos de inércia de todos os elementos:

I = ∫r^2 dm = ∫ρ^2 sen^2(φ) dφ dm,

onde φ é o ângulo entre o eixo Oz e a direção do elemento dm.

Como o bloco de engrenagens tem o formato de um anel, podemos assumir que todos os elementos dm estão distribuídos uniformemente em todo o seu volume. Então podemos substituir a integral sobre dm pela integral sobre o volume do anel:

I = ∫ρ^2 sen^2(φ) dφ dm = ∫ρ^2 sen^2(φ) dV,

onde dV é o elemento de volume do anel.

Para determinar o elemento de volume do anel, você pode usar a fórmula para o volume de uma casca fina:

dV = 2πr dr dh,

onde r é o raio do anel, h é a espessura do anel.

Como neste problema o raio de giração do bloco de engrenagens é 0,1 m, podemos assumir que a espessura do anel é zero. Então o elemento de volume pode ser escrito como:

dV = 2pr dr.

Integrando esta expressão ao longo do raio r de 0 a ρ, obtemos o volume total do anel:

V = ∫0^ρ 2pr dr = pr^2.

Assim, o principal momento de inércia do bloco de engrenagens em relação ao eixo Oz pode ser calculado pela fórmula:

I = ∫ρ^2 sen^2(φ) dV = ∫ρ^2 sen^2(φ) 2π dρ = 2πρ^4/4 = πρ^4/2.

Substituindo os valores de massa e raio de giração do bloco, obtemos:

Eu = π(0,1)^4/2 = 0,0001571 kg m^2.

Como o bloco gira de acordo com a lei φ = 25t^2, sua aceleração angular pode ser encontrada como:

α = d^2φ/dt^2 = 50.

Então o principal momento de inércia do bloco pode ser calculado usando a fórmula:

M = Iα = 0,0001571 kg m^2 * 50 rad/s^2 = -0,007855 N·m.

Resposta: o principal momento de inércia do bloco de engrenagens em relação ao eixo Oz é igual a -0,007855 Nm (arredondado para três casas decimais).

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