Lösung zu Aufgabe 17.2.6 aus der Sammlung von Kepe O.E.

In der Aufgabe gibt es einen Zahnradblock mit einer Masse von 0,3 kg und einem Trägheitsradius ρ = 0,1 m, der sich um die Oz-Achse dreht und dabei dem Rotationsgesetz φ = 25t^2 gehorcht. Es ist notwendig, das Hauptträgheitsmoment des Blocks relativ zur Oz-Achse zu bestimmen.

Um dieses Problem zu lösen, verwenden wir die Formel für das Hauptträgheitsmoment:

I = ρ^2 * m

Dabei ist I das Hauptträgheitsmoment, ρ der Trägheitsradius und m die Masse.

Lassen Sie uns zunächst die momentane Winkelgeschwindigkeit des Getriebeblocks ermitteln. Dazu differenzieren wir die Gleichung φ = 25t^2 nach der Zeit:

ω = dφ/dt = 50t

Als nächstes ermitteln wir den Momentanwert des Hauptträgheitsmoments des Blocks mithilfe der Formel:

L = I * ω

und integriere es über die Zeit von 0 bis t:

∫L dt = ∫I ω dt = ∫ρ^2 * m * 50t dt = 25ρ^2 * m * t^2

Somit beträgt das Hauptträgheitsmoment des Blocks relativ zur Oz-Achse -0,15 Nm (die Antwort ist in der Problemstellung angegeben).

Lösung zu Aufgabe 17.2.6 aus der Sammlung von Kepe O.?.

Wir präsentieren Ihnen ein digitales Produkt – eine Lösung zu Problem 17.2.6 aus der Sammlung von Kepe O.?. Dieses Produkt ist für diejenigen gedacht, die in der Schule oder Universität studieren und Physikaufgaben erfolgreich abschließen möchten.

Unsere Lösung umfasst eine detaillierte Beschreibung des Problems sowie einen schrittweisen Algorithmus zur Lösung des Problems. Sie können die Prinzipien zur Lösung dieses Problems leicht verstehen und sie zur Lösung ähnlicher Probleme anwenden.

Jede Phase der Lösung wird von Erklärungen und Formeln begleitet, die es Ihnen ermöglichen, klar zu verstehen, welche Aktionen durchgeführt wurden und warum.

Unser digitales Produkt verfügt über ein schönes HTML-Design, das die Verwendung bequem und angenehm macht. Sie können es problemlos auf jedem Gerät, einschließlich Computer, Tablet oder Smartphone, öffnen und den Stoff jederzeit und überall bequem studieren.

Durch den Kauf unseres digitalen Produkts erhalten Sie Zugang zu einer hochwertigen Lösung zu Problem 17.2.6 aus der Sammlung von Kepe O.?. und erweitern Sie Ihren Wissensstand in der Physik.

Wir präsentieren Ihnen ein digitales Produkt – eine Lösung zu Problem 17.2.6 aus der Sammlung von Kepe O.?. Diese physikalische Aufgabe besteht darin, das Hauptträgheitsmoment des Getriebeblocks relativ zur Oz-Achse zu bestimmen. In unserer Lösung des Problems beschreiben wir detailliert jeden Schritt des Algorithmus und erklären, wie wir zur Antwort gekommen sind.

Um mit der Lösung des Problems zu beginnen, ermitteln wir die momentane Winkelgeschwindigkeit des Getriebeblocks, indem wir die Gleichung φ = 25t^2 nach der Zeit differenzieren. Dann ermitteln wir den Momentanwert des Hauptträgheitsmoments des Blocks mithilfe der Formel L = I * ω und integrieren ihn über die Zeit von 0 bis t.

Mit der Formel für das Hauptträgheitsmoment I = ρ^2 * m, wobei ρ der Trägheitsradius und m die Masse ist, ermitteln wir das Hauptträgheitsmoment des Blocks relativ zur Oz-Achse, das gleich ist -0,15 Nm (die Antwort finden Sie in der Problemstellung).

Unser digitales Produkt beinhaltet eine detaillierte Beschreibung des Problems sowie einen Schritt-für-Schritt-Algorithmus zur Lösung des Problems. Jede Phase der Lösung wird von Erklärungen und Formeln begleitet, die es Ihnen ermöglichen, klar zu verstehen, welche Aktionen durchgeführt wurden und warum.

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Lösung zu Aufgabe 17.2.6 aus der Sammlung von Kepe O.?. besteht darin, das Hauptträgheitsmoment des Getriebeblocks relativ zur Oz-Achse zu bestimmen.

Aus den Problembedingungen ist bekannt, dass der Getriebeblock eine Masse von 0,3 kg und einen Trägheitsradius ρ = 0,1 m hat und sich außerdem relativ zur Oz-Achse gemäß dem Gesetz φ = 25t^2 dreht.

Um das Hauptträgheitsmoment des Blocks relativ zur Oz-Achse zu bestimmen, müssen Sie die Formel verwenden:

I = ∫r^2 dm,

Dabei ist I das Hauptträgheitsmoment, r der Abstand vom Punkt, an dem sich das Massenelement dm befindet, zur Rotationsachse, dm das Massenelement.

Betrachten wir einen Getriebeblock als ein zusammengesetztes System aus vielen solchen Elementen mit der Masse dm. Dann kann das Hauptträgheitsmoment des Blocks als Summe der Trägheitsmomente aller Elemente definiert werden:

I = ∫r^2 dm = ∫ρ^2 sin^2(φ) dφ dm,

wobei φ der Winkel zwischen der Oz-Achse und der Richtung zum Element dm ist.

Da der Getriebeblock die Form eines Rings hat, können wir davon ausgehen, dass alle Elemente dm gleichmäßig über sein Volumen verteilt sind. Dann können wir das Integral über dm durch das Integral über das Volumen des Rings ersetzen:

I = ∫ρ^2 sin^2(φ) dφ dm = ∫ρ^2 sin^2(φ) dV,

Dabei ist dV das Volumenelement des Rings.

Um das Volumenelement des Rings zu bestimmen, können Sie die Formel für das Volumen einer dünnen Schale verwenden:

dV = 2πr dr dh,

Dabei ist r der Radius des Rings und h die Dicke des Rings.

Da in diesem Problem der Trägheitsradius des Zahnradblocks 0,1 m beträgt, können wir davon ausgehen, dass die Dicke des Rings Null ist. Dann kann das Volumenelement wie folgt geschrieben werden:

dV = 2pr dr.

Wenn wir diesen Ausdruck über den Radius r von 0 bis ρ integrieren, erhalten wir das Gesamtvolumen des Rings:

V = ∫0^ρ 2pr dr = pr^2.

Somit kann das Hauptträgheitsmoment des Getriebeblocks relativ zur Oz-Achse mit der Formel berechnet werden:

I = ∫ρ^2 sin^2(φ) dV = ∫ρ^2 sin^2(φ) 2π dρ = 2πρ^4/4 = πρ^4/2.

Wenn wir die Werte der Masse und des Trägheitsradius des Blocks einsetzen, erhalten wir:

I = π(0,1)^4/2 = 0,0001571 kg m^2.

Da sich der Block nach dem Gesetz φ = 25t^2 dreht, kann seine Winkelbeschleunigung wie folgt ermittelt werden:

α = d^2φ/dt^2 = 50.

Dann lässt sich das Hauptträgheitsmoment des Blocks nach folgender Formel berechnen:

M = Iα = 0,0001571 kg m^2 * 50 rad/s^2 = -0,007855 N·m.

Antwort: Das Hauptträgheitsmoment des Getriebeblocks relativ zur Oz-Achse beträgt -0,007855 Nm (auf drei Dezimalstellen gerundet).

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